Matrix trigonalisierbar

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Matrix trigonalisierbar
Meine Frage:
Wir betrachten die Matrix



Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit sind mir klar, jetzt soll ich aber noch zeigen, dass A über Q trigonalisierbar ist und eine obere Dreiecksmatrix B angeben, die ähnlich zu A ist.

Meine Ideen:
Dazu fallen mir zwei Sätze ein.
Einmal könnte ich versuchen zu zeigen, dass A nilpotent ist. Das könnte aber ein ziemlicher Rechenaufwand werden.
Dann gibt es natürlich noch das Trigonalisierbarkeitskriterium, für das ich die Dimensionen der Haupträume bestimmen muss. Das ist die bessere Lösung, oder??

Und wie finde ich dann eine ähnliche Matrix? Da hab ich überhaupt keine Idee...

Wäre toll wenn mir jemand weiterhelfen könnte smile
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RE: Matrix trigonalisierbar
Anhand der Blockstruktur sieht man sofort, dass det(A)=1 ist. Also nil mit Nilpotenz Augenzwinkern
Für Triagonalisierbarkeit reicht doch, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt.
FireOnBoard Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix trigonalisierbar
Natürlich meinte ich nicht A nilpotent, sondern nilpotent...
Denn A hat nach meiner Rechnung mit -1 nur einen einzigen Eigenwert.

Deine Aussage mit den Linearfaktoren kannte ich so noch nicht, ergibt sich das aus der Jordan-Zerlegung?

(x+1)(x+1)(x+1)(x+1) sind natürlich Linearfaktoren. Andererseits: Kann man das charakteristische Polynom nicht immer in Linearfaktoren unterteilen? Naja, okay, bei z.B. x^2+1 wohl nicht...
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RE: Matrix trigonalisierbar
Über den komplexen Zahlen zerfällt jedes charakteristische Polynom in Linearfaktoren. Deshalb sind komplexe Matrizen immer triagonalisierbar. Über den reellen oder rationalen Zahlen ist das natürlich nicht immer der Fall.

Du hast vermutlich schon ausgerechnet, dass der Eigenraum zweidimensional ist. Also gibt es noch zwei Möglichkeiten für die Jordanblöcke. Es reicht dann, auszurechnen, was hier sehr schnell geht.
FireOnBoard Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix trigonalisierbar
Genau, der Eigenraum ist zweidimensional. Aber ich habe Schwierigkeiten, das mit den Jordanblöcken zu durchblicken. Was meinst du mit ? Also was ist da das I? Und was berechne ich dann damit? Wie komme ich dann auf die ähnliche Matrix?
Wäre toll, wenn mir das jemand erklären könnte, denn eigentlich verstehe ich das Thema Eigenwerte/Vektoren/räume und Diagonalisierbarkeit/Trigonalisierbarkeit schon ganz gut. Nur mit dieser Jordan Zerlegung kann ich irgendwie nichts anfangen... unglücklich
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RE: Matrix trigonalisierbar
Der Eigenraum ist zweidimensional, also gibt es genau zwei Jordankästchen. Die Frage ist nur, sind es 2x2-Kästchen oder ein 3x3- und ein 1x1-Kästchen.
Wenn es zwei 2x2-Kästchen sind, muss hier sein. Dabei ist I die Einheitsmatrix.
Damit ist dann die Jordan-Normalform bekannt und damit eine ähnliche Matrix.
Edit: Warum genau zwei Jordankästchen? Die erste Spalte eines jeden Jordankästchens gehört zu einem Eigenvektor. Der Eigenraum ist zweidimensional, also gibt es genau zwei Kästchen.
 
 
FireOnBoard Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix trigonalisierbar
Okay, wenn man das berechnet, kommt tatsächlich die Nullmatrix raus.

Bedeutet das, die Jordan-Normalform, also die ähnliche Matrix, sieht so aus?

B=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

Wie kommst du darauf, dass bei zwei 2x2-Kästchen = 0 sein muss ?
FireOnBoard Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix trigonalisierbar
sorry - Latex-Klammern vergessen:

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RE: Matrix trigonalisierbar
So sieht sie aus.

Ist das Jordankästchen zum Eigenwert , dann ist immer . Ist das klar?

Nehmen wir mal an, die Matrix wäre ähnlich zu , also für eine geeignete Matrix . Dann ist
also auch
.
Die linke Seite ist aber gleich Also
und das geht nur für .

Hier stand ja die Frage im Raum, ob es zwei 2x2-JK oder ein 3x3 und ein 1x1 JK zum gleichen EW gibt.
Die 2x2-JK müssen beim quadrieren von annuliert werden, s.o. Deshalb musste in dem Fall sein. Sonst wäre es der Fall mit 3x3 und 1x1 gewesen.
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