Zentraler Grenzwertsatz, Binomialverteilung und große Phi-Werte

13.05.2016, 12:29

Joomilo

Zentraler Grenzwertsatz, Binomialverteilung und große Phi-Werte

Hallo Leute,

ich wäre sehr dankbar, wenn ihr mir bei der folgenden Aufgabe helfen könntet.

In einer Urne befindet sich eine große Anzahl an Kugeln. Für je 90 rote Kugeln kommen 10 Grüne. Es wird 300 Mal mit Zurücklegen gezogen. Wie hoch ist die Warscheinlichkeit dass zwischen 150 und 200 rote Kugeln gezogen werden?

Meine Gedanken:

Es sieht nach Binomialverteilung und dem zentralen Grenzwertsatz aus, da n hier sehr groß ist.

n ist 300 und die Erfolgswarscheinlichkeit für eine rote Kugel beträgt p = 0,9.

Somit ist E(x) = 300* 0,9 = 270 und var(x) = 270 * 0,1 = 27 > 9 (Bedingung für den Zentralen Grenzwertsatz)

Gesucht ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{200-270+0,5}{\sqrt{27} } \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{149-270+0,5}{\sqrt{27} } \end{eqnarray*}$

Es kommt aber ein sehr großes Phi dabei heraus von ung. -13 und -23 . Heißt es im Endeffekt, dass die Warscheinlichkeit gegen 0 geht? oder habe ich irgendwo einen Rechenfehler?

Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus.

Gruß,

13.05.2016, 13:04

HAL 9000

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RE: Zentraler Grenzwertsatz, Binomialverteilung und große Phi-Werte

Zitat:

Original von Joomilo
n ist 300 und die Erfolgswarscheinlichkeit für eine rote Kugel beträgt p = 0,9.

Somit ist E(x) = 300* 0,9 = 270 und var(x) = 270 * 0,1 = 27 > 9 (Bedingung für den Zentralen Grenzwertsatz)

Gesucht ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{200-270+0,5}{\sqrt{27} } \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{149-270+0,5}{\sqrt{27} } \end{eqnarray*}$

Es kommt aber ein sehr großes Phi dabei heraus von ung. -13 und -23 . Heißt es im Endeffekt, dass die Warscheinlichkeit gegen 0 geht?

Deine Einschätzung der Lage ist soweit korrekt. Freude

Man muss allerdings dazu sagen, dass die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung in einer solchen extremen Randlage nicht sonderlich gut ist: So ergibt

$\begin{align*} \Phi\left( \frac{200.5-270}{\sqrt{27}} \right) - \Phi\left( \frac{149.5-270}{\sqrt{27}} \right) \approx 4.22\cdot 10^{-41} \end{align*}$ ,

während die exakte Rechnung mit Binomialverteilung

$\begin{align*} \sum_{k=150}^{200} \binom{300}{k} 0.9^k0.1^{300-k} \approx 3.76\cdot 10^{-28} \end{align*}$

ist. Beides verschwindend kleine Werte, Ok, die man eh als 0 bewerten würde - aber relativ gesehen ist dennoch ein Größenordnungsfehler von ca. 13 Dezimalstellen (!!!) festzstellen. geschockt

14.05.2016, 01:49

Dopap

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RE: Zentraler Grenzwertsatz, Binomialverteilung und große Phi-Werte
wenn schon Stetigkeitskorrektur, dann aber:

$\begin{eqnarray*} \Phi\left( \frac{200-270 + 0.5}{\sqrt{27}} \right) - \Phi\left( \frac{149-270 -0.5}{\sqrt{27}} \right) \end{eqnarray*}$ ,

aber das wird den Kohl wohl auch nicht fett machen verwirrt

14.05.2016, 06:05

HAL 9000

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Du irrst: Wir sprechen ja hier nicht über $\begin{align*} P(149\leq X\leq 200) \end{align*}$ , sondern über $\begin{align*} P(150\leq X\leq 200) \end{align*}$ . Rechnen wir dennoch mal die gewaltig große Differenz zwischen beiden Werten aus: Es ist

$\begin{align*} \Phi\left( \frac{149.5-270}{\sqrt{27}} \right) - \Phi\left( \frac{148.5-270}{\sqrt{27}} \right) \approx 2.82\cdot 10^{-119} \end{align*}$ .

Ich hab mal gelesen, dass die Anzahl der Protonen im Weltall auf ca. $\begin{align*} 10^{80} \end{align*}$ geschätzt wird - nur mal zur Einordnung dieser Wahrscheinlichkeitsdifferenz... Big Laugh

P.S.: Man braucht übrigens nicht notwendig ein CAS, um in diesen "Randbereichen" zu operieren: Aus

$\begin{align*} \left[-\frac{1}{x}e^{-\frac{x^2}{2}}\right]' = \left(1+\frac{1}{x^2}\right)e^{-\frac{x^2}{2}} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \left[-\frac{x}{x^2+1}e^{-\frac{x^2}{2}}\right]' = \left(1-\frac{2}{(x^2+1)^2}\right)e^{-\frac{x^2}{2}} \end{align*}$

folgt wegen $\begin{align*} \Phi(-x) = 1-\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_x^{\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} ~ \dd t \end{align*}$ für große $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ dann

$\begin{align*} \frac{x}{(x^2+1)\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} < \Phi(-x) = 1-\Phi(x) < \frac{1}{x\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} \end{align*}$ .

Diese Abschätzung kann man schon ganz gut verwenden in den Bereichen, wo normalerweise die Tabellen aufhören (also so ungefähr x>4).

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