Spiegelung im R³ - Geometrische Deutung

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Musican Auf diesen Beitrag antworten »
Spiegelung im R³ - Geometrische Deutung
Meine Frage:
Hallo! Ich hänge vor folgender Aufgabe fest..

Sei

mit . Weiterhin sei (Finde leider keine Latexschreibweise für Transponierte Vektoren..)
.. die lineare Abbildung vom einer Spiegelung an der auf a senkrecht stehenden Ebene durch den Ursprung.

1. Veranschaulichen Sie die Abbildung anhand einer Skizze für ein a Ihrer Wahl.
2. Berechnen Sie die Darstellungsmatrix A von
3. Berechnen Sie (Die Komposition?)
4. Ist orthogonal?

Meine Ideen:
Ich habe ein paar Probleme mir das ganze für 1. geometrisch vorzustellen.

1. Sei a = (0,1,0) z.B. Laut Fragestellung soll ja jetzt eine Spiegelung AN der AUF a senkrecht stehenden Ebene (heißt das, die Ebene in der a als Bildpunkt landet? Oder die Ebene, die a durch seine zu ihm Orthogonalen Vektoren aufspannt? Oder was vollkommen anderes? ) ... DURCH den Ursprung. (Heißt ja nichts anderes, als dass die Spiegelungsachse der Ursprung ist, oder? Schwierig ist für mich primär zu verstehen, von welcher Ebene genau wir hier überhaupt reden.

2. Hier müsste ich ja einfach nur unsere Abbildung hernehmen und zu einer Matrix zusammenführen für allgemeine oder? Oder lassen sich vielleicht einfach die Einheitsvektoren in die Abbildung stecken und ich erhalte somit die darstellende Matrix?

3. Das wäre doch einfach die Multiplikation unserer aus 2. errechneten Darstellungsmatrix mit A, also ?

4. Die Orthogonalität zeige ich ja indem ich zeige, dass Phi sowohl Längen- als auch Winkelerhaltend ist. Also kurz : Strukturerhaltend bezüglich des Skalarprodukts ist, oder?

Ich versuche gerade mir die lineare Algebra einzuverleiben und die Zusammenhänge der Begrifflichkeiten zu verstehen, und wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bezüglich dieser Aufgabe und meiner ideen einige Tipps geben könnte..

Dankesehr!
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss die gleiche Aufgabe bearbeiten im Moment.

also bei (1) bin ich mir auch nicht ganz sicher.

zu (2) Genau habe das auch so gemacht, sodass du am Ende stehen hast. und das ist dann deine darstellende Matrix.

zu (3) Ja genau. Aber nicht sondern
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"an der auf a senkrecht stehenden Ebene durch den Ursprung"
heißt zunächst, dass a Normalenvektor der Ebene ist. Solche Ebenen gibt es aber unendlich viele und man nimmt sich jetzt genau diejenige, die den Ursprung enthält.
Für a=(0,1,0) wären das Ebenen senkrecht zur y-Achse, also parallel zur x-z-Ebene. Diejenige durch den Ursprung ist gerade die x-z-Ebene.
Und an eben dieser speziellen Ebene wird gespiegelt.
Musican Auf diesen Beitrag antworten »

@ Oggel, wie witzig Big Laugh zufällig auch Osnabrücker?

@URL, danke für deine Antwort das hat mir schonmal sehr geholfen!
Ich habe mal eine Skizze für den R² mit dem einem a = (1,0) gemacht.
Heißt das jetzt, dass alle Punkte im blau schaffriertem Bereich als Bildpunkt in dem Rot-schaffriertem landen?
Oder Werden wirklich nur die Punkte AUF der X-Achse liegen gespiegelt?

Zitat:
und an dieser speziellen Ebene wird gespiegelt.

Die Ebene die nun senkrecht auf x steht UND durch den Ursprung geht ist ja eben die Y-Achse oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

siehe auch hier
Musican Auf diesen Beitrag antworten »

Ich idiot hab das Bild gar nicht angehängt... Big Laugh laso nochmal :

[attach]41636[/attach]
 
 
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Es werden alle Punkte des betrachteten Vektorraums gespiegelt. Manche Punkte werden dabei auf sich selbst abgebildet.
In deinem Beispiel werden Punkte aus dem roten Bereich in den blauen abgebildet und umgekehrt. Nur damit da nichts schief geht: Die farbigen Bereiche müssen sich natürlich auch unter die x-Achse erstrecken.
Gespiegelt wird an der y-Achse (nein, das ist keine Ebene, weil nur eindimensional, aber das ist hier nur eine begriffliche Verwirrung; man könnte von einer Hyperebene sprechen, das wäre dann wiederum korrekt). Punkte auf der y-Achse werden auf sich selbst abgebildet.
Hast du in der Schule in Geometrie nie Spiegelungen behandelt? verwirrt
Musican Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja dann hab ich's endlich verstanden. Dann ging es also nur darum die Ebene zu beschreiben an der gespiegelt wird. Und gespiegelt werden dann alle punkte des entsprechenden vektorraums durch die gegebene Abbildung. Also haben alle Punkte des roten Bereichs als Urbild die Menge des blauen (natürlich auch der bereich unter der x-achse^^) Bereichs exklusive der Spiegelungebene und umgekehrt?
Mich würde noch interessieren, wie die eigenwerte der Abbildungsmatrix nun zu deuten sind. Also eigenwerte würden dann doch 0 und 1 rauskommen müssen, oder? Und zum EW =0 dann doch in meinem Fall alle vektoren die auf der y-achse liegen , weil die sich durch die spiegelung nicht verändern. Ist das geometrisch richtig gedeutet?

Du wirst es kaum glauben, aber nein. Ich hatte Mathematik im Abi als LK und uns wurde nicht mehr als die gewöhnliche kurvendiskussion der analysis beigebracht. Also simple Analysis. KEINE lineare Algebra. Im nachhinein bin ich über den Umstand wirklich enttäuscht und verständnislos..
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Zitat:
Und zum EW =0 dann doch in meinem Fall alle vektoren die auf der y-achse liegen , weil die sich durch die spiegelung nicht verändern.

das passt in sich schon nicht zusammen.

Ich dachte eher so an den Mathematikunterricht in der Mittelstufe. Aber vielleicht trügt mich meine Erinnerung.
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