Gleichung lösen ohne Taschenrechner

14.05.2016, 17:09

AhnungSloser225

Gleichung lösen ohne Taschenrechner

Meine Frage:
Bitte um Hilfe bei dieser Gleichung.
Lösen ohne Taschenrechner.

$\begin{eqnarray*} \frac { \sqrt { x+7 } +\sqrt { x-7 } }{ \sqrt { x+7 } -\sqrt { x-7 } } =\quad 7 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich hab leider gar keine idee

danke im Voraus

14.05.2016, 17:22

riwe

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RE: Gleichung Lösen ohne Taschenrechner
beginne mit der 3. binomischen Formel ( a - b)(a + b) =---

15.05.2016, 09:38

willyengland

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Moin,

ich wollte die Gleichung lösen, scheitere aber gerade an diesem trivialen Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2-49}=? \end{eqnarray*}$

Wie bekomme ich hier das Wurzelzeichen weg?

Also meine Gesamtgleichung sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} 98=2x+2*\sqrt{x^2-49} \end{eqnarray*}$

15.05.2016, 09:52

Mathema

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Was ist die denn die Umkehrrechnung vom Wurzelziehen?

15.05.2016, 10:05

willyengland

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Ich blicks nicht! Ups

$\begin{eqnarray*} x^2-49 \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} (x-7)(x+7) \end{eqnarray*}$ , aber das hilft ja auch nicht weiter.

EDIT:

Ahh, ich habs!
Einen Moment ...

15.05.2016, 10:08

Mathema

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Du sollst die Wurzel auch nicht separat betrachten, sondern innerhalb deiner Gleichung. Du hast eine Wurzelgleichung. Isoliere die Wurzel auf einer Seite und quadriere beide Seiten der Gleichung. Das ist aber keine Äquivalenzumformung, du musst also eine Probe machen, wenn du Lösungen gefunden hast.

15.05.2016, 10:17

willyengland

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Ok, ich habs.
Schwere Geburt.

Bei Interesse kann ich die Umformungen posten.

Noch eine Nachfrage:
Warum ist Quadrieren keine Äquivalenzumformung?

15.05.2016, 10:25

Mathema

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$\begin{eqnarray*} -2=2 \end{eqnarray*}$

Stimmt nicht. Wir quadrieren:

$\begin{eqnarray*} 4=4 \end{eqnarray*}$

Stimmt.

15.05.2016, 10:37

riwe

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bei meiner Variante gibt´s eh nur EINE Lösung Augenzwinkern

15.05.2016, 10:43

willyengland

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Ok.
Wenn man aber davon ausgeht, dass die Gleichung stimmt, also lösbar ist, dann wäre es doch erlaubt oder gibt es dann auch noch Fallstricke?

Und noch eine Frage: (tolle Aufgabe! smile

)
Die obige Gleichung sagt ja, dass der linke Teil gleich 7 ist.
Man müsste dann doch den linken Teil auch so umformen können, dass das x verschwindet, also das letztendlich 7 = 7 rauskommt.
Habe ich probiert aber nicht hinbekommen.

EDIT:
@riwe: Nach dem Quadrieren kürzt sich das $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ weg.

15.05.2016, 10:58

riwe

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Zitat:

Original von willyengland

Wenn man aber davon ausgeht, dass die Gleichung stimmt, also lösbar ist, dann wäre es doch erlaubt oder gibt es dann auch noch Fallstricke?

ist sie

Zitat:

Original von willyengland

@riwe: Nach dem Quadrieren kürzt sich das $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ weg.

nona

15.05.2016, 11:01

willyengland

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Also ich habe nach dem Quadrieren:

$\begin{eqnarray*} 49^2-98x+x^2=x^2-49 \end{eqnarray*}$

Darf ich da nicht $\begin{eqnarray*} || -x^2 \end{eqnarray*}$ machen?

15.05.2016, 11:26

riwe

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tu´s halt

edit:
nona heißt auf österreichisch: eh klar, richtig, natürlich, selbstverständlich....

15.05.2016, 11:31

Mathema

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Zitat:

Die obige Gleichung sagt ja, dass der linke Teil gleich 7 ist.
Man müsste dann doch den linken Teil auch so umformen können, dass das x verschwindet, also das letztendlich 7 = 7 rauskommt.

Dann scheinst du Gleichungen noch nicht richtig verstanden zu haben. Wenn dieses der Fall wäre, hätte deine Gleichung unendlich viele Lösungen.

@Werner: Frohe Pfingsten!

15.05.2016, 11:40

riwe

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Zitat:

Original von Mathema

@Werner: Frohe Pfingsten!

Dankeschön, das wünsche ich dir auch

15.05.2016, 11:46

willyengland

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Zitat:

Original von Mathema
Dann scheinst du Gleichungen noch nicht richtig verstanden zu haben. Wenn dieses der Fall wäre, hätte deine Gleichung unendlich viele Lösungen.

Stimmt. Habs verstanden.

Zitat:

Original von riwe
ist sie

Also ist Quadrieren nun erlaubt, oder nicht?
Unter der Annahme, dass die Gleichung stimmt.

15.05.2016, 12:35

Mathema

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Zitat:

Wenn man aber davon ausgeht, dass die Gleichung stimmt, also lösbar ist,...

Jede Gleichung besitzt eine Lösungsmenge, ist also lösbar! Bei manchen Gleichungen ist die Lösungsmenge halt die leere Menge, das ist aber auch eine Lösung.

Über das Quadrieren habe ich doch alles geschrieben. Quadrieren ist immer erlaubt, man muss nur immer eine Probe machen, da Scheinlösungen entstehen können. Hast du nun als (einzige) Lösung deine 25 erhalten, machst du halt die Probe. Geht die Probe auf, dann gilt $\begin{eqnarray*} \mathbb{L}=\{25\} \end{eqnarray*}$ , geht die Probe nicht auf, dann ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{L}=\emptyset \end{eqnarray*}$ .

Was bei einer Gleichung nicht erlaubt ist, ist mit 0 zu multiplizieren oder durch 0 zu dividieren.

15.05.2016, 12:58

willyengland

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Das interessiert mich:
Wodurch können denn Scheinlösungen entstehen?

15.05.2016, 13:07

Mathema

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Auch das habe ich schon geschrieben, ich habe eigentlich wenig Lust mich immer zu wiederholen. unglücklich

Nehmen wir die Gleichung $\begin{eqnarray*} x-1=2 \end{eqnarray*}$ :

Offenbar ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{L}=\{3\} \end{eqnarray*}$

Quadrieren wir die Gleichung ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2=4 \end{eqnarray*}$

Für diese Gleichung gilt nun aber $\begin{eqnarray*} \mathbb{L}=\{-1;3\} \end{eqnarray*}$ . -1 ist aber für unsere Ausgangsgleichung eine Scheinlösung. Ich schrieb:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} -2=2 \end{eqnarray*}$

Stimmt nicht. Wir quadrieren:

$\begin{eqnarray*} 4=4 \end{eqnarray*}$

Stimmt.

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