Funktionsgleichungen durch umgekehrte Kurvendiskussion

15.05.2016, 20:40

Saniis

Funktionsgleichungen durch umgekehrte Kurvendiskussion

Meine Frage:
Ich muss diese Aufgabe lösen nur ich weiß nicht wie was, ich bin verzweifelt, und finde keine Hilfe

Die Funktion g hat genau 1 Hochpunkt und 1 Tiefpunkt. Die Funktion h hat genau 1 Sattelpunkt. Die Funktion k hat einen Tiefpunkt.

Alle drei Funktionen sind Polynome. Sie dürfen sich für die Hausübung zwei der drei Funktionen aussuchen, um die folgenden Aufgaben durchzuführen:

a) Skizzieren Sie Graphen, die zu den von Ihnen ausgewählten Funktionen passen. Wählen Sie für die Koordinaten der Hoch-/Tief-/Sattelpunkte ganze Zahlen.
b) Skizzieren Sie die Graphen der 1. und 2. Ableitung.
c) Argumentieren Sie, welchen Grad ihre beiden Polynome haben.
d) Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen durch umgekehrte Kurvendiskussion

Meine Ideen:
Daweil habe ich einen Graphen gezeichnet + die graphischen Ableitungen und der rest mal hoffe dass das richtig ist.

Ich habe mich für die Funktion g, und k entschieden. Also 1 Funktion mit HP, TP, und k mit TP.

Ich wäre euch abgöttisch dankbar!!
Und ich will es auch verstehen natürlich wie ich das mache. Bin ich denn richtig vorgegangen indem ich den erst Graphen gezeichnet habe und dann daraus die HP und nullpunkte ect herauslese?

LG Saniis

16.05.2016, 00:14

Helferlein

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Naja, was willst Du hören? a) und b) hast Du ja anscheinend gemacht. Ohne Bild kann Dir niemand sagen, ob Du es richtig gemacht hast.

Zu c) Überlege Dir wie Du aus den vorgegebenen Eigenschaften (also 2 bzw. 1 Extrempunkt) Rückschlüsse auf den kleinstmöglichen Grad der Funktion ziehen kannst. (Wie berechnet man Extemstellen und was bedeutet die vorgegebene Anzahl für die Funktion und/oder Ableitung(en)?)

Zu d) Wenn Du in c) auf eine Funktion dritten bzw. zweiten Grades gekommen bist, dann nutze die Punkte, um auf vier bzw. drei Gleichungen zu kommen.
Für g hast Du 2 Extrempunkte, die jeweils zwei Bedingungen liefern. Bei k hast Du nur einen Extrempunkt und somit zwei Bedingungen.

17.05.2016, 00:09

Saniis

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RE: Funktionsgleichungen durch umgekehrte Kurvendiskussion
Wink

Könnte das bitte jemand für mich lösen mit einseitigem lösungsweg traurig

biiittte

Ich habe so vieles versucht verwirrt

Es können auch eigene Angaben sein, nicht unbedingt die die ich mir ausgedacht habe Gott

Lg saniis

17.05.2016, 08:58

Steffen Bühler

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RE: Funktionsgleichungen durch umgekehrte Kurvendiskussion

Zitat:

Original von Saniis
Ich habe so vieles versucht

Wunderbar! Dann schreib doch mal, was Du versucht hast.

Viele Grüße
Steffen

17.05.2016, 09:37

willyengland

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Also a) bis c) hast du ja, wenn ich das richtig verstehe?

Dann kannst du aus dem Graphen verschiedene Punkte ablesen:
Minimum, Maximum, Nullstellen.
Diese Punkte (x|y) setzt du in die allgemeine Form deiner Gleichung ein, also z.B.
$\begin{eqnarray*} y = ax^2 +bx+c \end{eqnarray*}$ für eine Parabel.

Du musst so viele Punkte haben, wie du Variablen (a, b, c) in deiner Gleichung hast.
Dann hast du ein lineares Gleichungssystem, dass du lösen kannst.

In der Schule nennt sich sowas "Steckbriefaufgabe":
Man hat bestimmte Merkmale der Funktion und kann daraus dann die Funktion herleiten.

17.05.2016, 23:21

Saniis

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RE: Funktionsgleichungen durch umgekehrte Kurvendiskussion
was ich habe: bei funktion k habe ich die 2 Nullpunkte, die sind N1(-2/0), N2(1/0), und der TP(-1/-4)

So, ich muss jetzt eben die Gleichung f(k)=ak²*bk*c herausfinden, also die a,b,c, zahlen

Dafüf nehme ich
f(k)=ak²+bk+c und leite ab
f'(k)= 2ak+b
f''(k)= 2a

und jetzt kommt das Einsetzten, und da verwirrt mich das, muss ich alle punkte dafür verwenden ?
ich habe das so gemacht :
TP ... f(-1)=a*1²+b*1+c .... a+b+c=-4
.........f'(-1)=2*a*1+b.....2a+b=0

und jetzt brauche ich ja noch eine Gleichung, ist es egal welchen Nullpunkt ich dafür nehme ?

nehmen wir mal N1, und die setze ich in die f(k) oder in eine der ableitungen ? ich habe es mal in die f(k) eingesetzt :
f(-2)=a*(-2)+b*(-2)+c ..... 4a-2b+c

somit habe ich 3 gleichungen

jetzt mittels Additionsverfahren herausfinden was a, b und c ist:

a+b+c=-4
4a-2b+c=0 /*(-1) = -4a+2b-c=0
... 3a*3b=-4
2a+b=0 /*(-3) = -6a-3b=0
...-9a=-4 / unglücklich

-9)
a=0.44

so also habe ich daweil f(k)=0.44k²+bk+c

jetzt brauche ich noch b und c. wie mache ich da weiter, kann mir das jemand auflöen, bin ich denn richtig vorgegangen ?

beim 2 beispiel das ich gewählt habe also funktion(g) , hänge ich auch kann ich das auch aufschreiben um hilfezu bekommen wie und was traurig

danke für die bisherige hilfe an allle !

LG Saniis

18.05.2016, 00:13

Helferlein

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Die Punkte, die Du abgelesen hast, stammen nicht von einer quadratischen Funktion. Die Rechnung mit allen Bedingungen würde zu einem Widerspruch führen. Das ist daran zu erkennen, dass die Nullstellen nicht symmetrisch zur Extremstelle liegen, was bei jeder quadratischen Funktion aber der Fall ist.
Du hast also entweder schlecht abgelesen oder zu ungenau gezeichnet.

Wenn Du deine Rechnung zu Ende führst und vorher noch die Gleichungen korrigierst (Du hast jeweils 1 in die Funktion und Ableitung eingesetzt, obwohl es doch -1 sein sollte) , wirst Du eine Funktion bekommen, die deine zwei verarbeiteten Bedingungen erfüllt (Also Nullstelle bei x=-2 und Tiefpunkt bei T(-1/-4)), aber keine Nullstelle bei x=1 haben wird.
Dazu müsstest Du einfach nur dein ermitteltes a in die zweite Gleichung einsetzen, um b zu bestimmen. Anschließend nimmst Du die erste oder dritte Gleichung und setzt die Werte von a und b ein, die Du ja nun hast, um c zu berechnen.

Da Du nach einem ähnlichen Beispiel gefragt hast, hier nochmal die Vorgehensweise:

Nehmen wir mal an, wir suchen eine Funktion u, die genau eine Wendestelle hat.
Dann wäre die einzige Vorgabe $\begin{eqnarray*} u''(x_w)=0 \end{eqnarray*}$ und der minimale Grad der Funktion drei, denn jede Funktion niedrigeren Grads würde zu einer konstanten zweiten Ableitung führen. Wir setzen also $\begin{eqnarray*} u(x)=ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$ und sehen, dass wir insgesamt vier Bedingungen stellen müssen, um eine Chance auf eine eindeutige Lösung zu haben. Nehmen wir ferner an, dass du dir den Wendepunkt $\begin{eqnarray*} W(0/0) \end{eqnarray*}$ aussuchst. Dann sind zwei Bedingungen festgelegt: $\begin{eqnarray*} u(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u''(0)=0 \end{eqnarray*}$ . Es fehlen noch zwei weitere Bedingungen. Der Einfachheit halber setzen wir bei x=1 und x=-1 die Nullstellen fest und haben damit vier Bedingungen, so dass wir mit der Rechnung loslegen können.

Die vier Bedingungen lauten
$\begin{eqnarray*} (1)~0=u(0)=a\cdot 0+b \cdot 0+c \cdot 0+d=d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2)~0=u''(0)=6a \cdot 0+2b=2b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3)~ 0=u(1)=a+b+c+d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (4)~0=u(-1)=-a+b-c+d \end{eqnarray*}$

Unter Ausnutzung von (1) und (2) ergibt sich für die restlichen Gleichungen
$\begin{eqnarray*} (3^*)~ 0=a+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (4^*)~ 0=-a-c \end{eqnarray*}$

Beide Gleichungen sind äquivalent, so dass wir erkennen, dass uns immer noch eine Vorgabe zur Eindeutigkeit fehlt. Ohne diese erhalten wir nur c=-a und somit alle Funktionen der Gestalt $\begin{eqnarray*} u(x)=ax^3-ax \end{eqnarray*}$

18.05.2016, 01:02

mYthos

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Ich kriege (für k) diese Funktion

Diese hat in der Tat auch bei 1 eine Nullstelle.

Ansatz:
f(-2)=0
f(1)=0
f(-1)=-4
f'(-1)=0

--> a = -1, b = 0, c = 3, d = -2

mY+

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