Elementare Zahlentheorie

16.05.2016, 13:24	Oludom	Auf diesen Beitrag antworten »
Elementare Zahlentheorie Meine Frage: Es seien $\begin{eqnarray} n,d\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} d\mid n \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} a\in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mathrm{ggT}(a,d)=1 \end{eqnarray}$ . Zu zeigen: Es existiert ein $\begin{eqnarray} b\in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a\equiv b(\mathrm{mod}\, d) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathrm{ggT}(b,n)=1 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Zu zeigen wäre ja quasi, dass $\begin{eqnarray} \ell\in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ existiert ( $\begin{eqnarray} b:=a+\ell d \end{eqnarray}$ ) mit $\begin{eqnarray} \mathrm{ggT}(a+\ell d,k)=1 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} n = kd \end{eqnarray}$ . Wäre $\begin{eqnarray} \mathrm{ggT}(a+\ell d,k)=g \end{eqnarray}$ , so müsste $\begin{eqnarray} \mathrm{ggT}(g,d)=1 \end{eqnarray}$ sein, denn ansonsten widerspräche dies $\begin{eqnarray} \mathrm{ggT}(a,d)=1 \end{eqnarray}$ ... aber ich komme auf keinen grünen Zweig :/
16.05.2016, 13:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich schon bewiesen. Ich halte es aber nicht für elementar, weil ich den Satz von Dirichlet dafür brauche.
16.05.2016, 14:07	Oludom	Auf diesen Beitrag antworten »
Aah, das ginge natürlich, den Satz kannte ich bisher nicht. Vielen Dank schonmal für den Hinweis!
16.05.2016, 18:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte natürlich den "Dirichletschen Primzahlsatz". Sätze von Dirichlet gibt es ja "wie Sand am Meer".
16.05.2016, 22:17	Oludom	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, hatte schon den richtigen Satz gefunden, das ist ja quasi genau das, was man braucht. Ich selbst habe kaum Ahnung von Zahlentheorie, ein Kumpel hatte mich gefragt, ob ich ihm da weiterhelfen kann. Anscheinend darf der besagte Satz aber nicht verwendet werden, weil er in der Vorlesung nicht dran kam. Und, wie du auch schon sagtest, scheint er ja nicht gerade elementar zu sein Vielen Dank auf jeden Fall für die Antworten!!

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