Beweis, dass die Reihe vom Binomialkoeffizient gleich 2^n ist

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Chipsvernichter Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis, dass die Reihe vom Binomialkoeffizient gleich 2^n ist
Hi,

ich soll eine vollständige Induktion für &#8721traurig k=0; n) (n über k) = 2^n durchführen. Induktionsanfang und Voraussetzung habe ich selbst hinbekommen, allerdings komme ich beim Induktionsschritt nicht weiter.

Ich weis, dass der Anfang davon so aussehen muss: &#8721traurig k = 0; n+1) (n+1 über k) = 2^(n+1) und ich habe bei der letzten Induktionsaufgabe mitbekommen, dass man das letzte Glied abspalten soll. &#8721traurig k = 0; n) (n über k) + (n über k) Hier bin ich mir schon gar nicht mehr so sicher, ob das stimmt.

Den Binomialkoeffizienten kenn ich, aber mit Umformungen bin ich nicht so vertraut. im Internet habe ich allerdings folgende gefunden: (n über k) = (n-1 über k -1) + (n-1 über k)

Es wäre schön, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, wie ich weiter komme. smile

LG Jan
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis, dass die Reihe vom Binomialkoeffizient gleich 2^n ist
Da ist aber der Text arg verunglückt. Was ich entziffern kann ist:



Und jetzt schildere dein Problem bitte nochmal.
Chipsvernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

oh, das bemerke ich gerade jetzt erst. Deine Formel soll ich sozusagen mit der vollständigen Induktion beweisen und Induktionsanfang, sowie Voraussetzung habe ich schon.
Beim Induktionsschritt soll ich ja nachweisen, dass die Behauptung auch für das n+1 te Glied stimmt.


Mit den Umformungen vom Binomialkoeffizienten kenne ich mich nicht so aus, aber im Internet habe ich folgendes gefunden:

Edit: Ich probier das mit den Formeln später mal.
Chipsvernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ganz so einfach hat es dann doch nicht funktioniert.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Chipsvernichter
Beim Induktionsschritt soll ich ja nachweisen, dass die Behauptung auch für das n+1 te Glied stimmt.


Korrigiert:

Spalte aus der Summe den ersten und letzten Summanden ab und wende dann diese Regel an:

Chipsvernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Die letzte Summe kann ich ja so abspalten, aber die erste?
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist das Problem? Einfach so:

Augenzwinkern
Chipsvernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das macht Sinn.

=



Jetzt vereinfache ich die Teilsummen:







Stimmt das so?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Chipsvernichter


Korrekt ist:

Zitat:
Original von Chipsvernichter




Mit diesen Zeilen kann ich nichts anfangen. Du mußt auch so umformen, daß du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst.
Chipsvernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Un der Rest wäre dann Einsetzen:





IV =

Fertig, oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip ja. smile

Es mag zwar offensichtlich sein, aber ein dezenter Hinweis, daß und ist, würde die Sache noch abrunden. Augenzwinkern
Chipsvernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Mach ich. Vielen Dank! Aus dieser Perspektive habe ich den Binomialkoeffizienten noch gar nicht betrachtet. Mathe ist immer wieder überraschend.
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