Erzeuger einer Gruppe bestimmen |
| 18.05.2016, 13:20 | Chipsvernichter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Erzeuger einer Gruppe bestimmen ich weis, dass es zu diesem Thema einige Beiträge im Internet gibt, und ich habe schon einige durchgearbeitet, aber so ganz verstehe ich es doch noch nicht. Gegeben sei die additive Gruppe (Z 14, +) Die Anzahl der Erzeuger bestimme ich durch die Eulersche phi-Funktion: phi(phi(14)) = phi(6) = 3 Erzeuger teilerfremde Zahlen sind: {1, 3, 5, 9, 11, 13} Folgendes weis ich über Erzeuger: - 1 ist niemals Erzeuger - Ordnung einer Zahl aus der teilerfremden Menge muss gleich der Ordnung der Menge sein ? Letzteres kann doch gar nicht stimmen, da die Ordnung der teilerfremden Zahlen 14 sein muss. Also habe ich mir die Ordnung der nicht teilerfremden Zahlen angeschaut: ord(2) = 7 ord(4) = 7 ord(6) = 7 ord(7) = 2 ord(8) = 7 ord(10) = 7 ord(12) = 7 Die Ordnung der teilerfremden Menge beträgt 6. Irgendwo habe ich ein Definitionsfehler. Leider kann ich aus der Übung nicht die Lösung entnehmen. LG Jan |
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| 18.05.2016, 13:44 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Natürlich ist die ein Erzeuger: und so weiter sind die Elemente von . Die Erzeuger sind . Es gibt also 6 Stück. Irgendwie scheinst du mir additive und multiplikative Strukturen durcheinanderzubringen. Es geht hier aber um die additive Gruppe , wie du eingangs selbst sagst. |
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| 18.05.2016, 13:53 | Chipsvernichter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also kann man allgemein sagen, dass bei der additiven Gruppe alle teilerfremden Zahlen Erzeuger sind? |
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| 18.05.2016, 14:10 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Formulierung ist mir zu ungenau, als daß ich bedenkenlos "Ja" sagen würde. Im Kern ist das aber richtig. |
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| 18.05.2016, 14:40 | Chipsvernichter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da scheint es wirklich so, dass ich bei dem Beispiel aus dem Internet übersehen habe, dass es sich um eine multiplikative Gruppe gehandelt hat. Gilt dann folgende Aussage für multiplikative Gruppen: phi(phi(n)) ist gleich die Anzahl der Erzeuger? |
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| 18.05.2016, 15:48 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die multiplikative Gruppe , die sogenannte prime Restklassengruppe modulo , hat die Ordnung , ist aber nicht in jedem Fall zyklisch. Nimm . Hier hat jedes Element die Ordnung 2, es handelt sich also um die Kleinsche Vierergruppe. |
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| 18.05.2016, 18:04 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Falls es doch um die multiplikative Gruppe gehen sollte:
Verrechnet, tatsächlich ist . |
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| 18.05.2016, 20:31 | Chipsvernichter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank! Das gibt mir auch noch ein paar Stichworte zum vertiefen. LG Jan |
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