Lineare Unabhängigkeit durch Parameter

18.05.2016, 13:50

DQQpy

Lineare Unabhängigkeit durch Parameter

Hallo,

ich verzweifle gerade an zwei wahrscheinlich einfachen Aufgaben.
In der ersten soll man $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ bestimmen, sodass die Vektoren (x,1,0), (1,x,1), (0,1,x) linear unabhängig sind.
Dazu habe ich den Ansatz

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \begin{pmatrix} x \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 1 \\ x \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ x \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

gewählt, durch Gauß-Algorithmus kam ich dann auf

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & -x^2+1 & -x & | & 0 \\ 0 & 0 & x^3 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Daraus habe ich gefolgert, dass für x=0 $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$ beliebig sein kann, also sind für x=0 die Vektoren lin. abh. Aber wie mache ich dann weiter? Ich muss dann doch jetzt annehmen, dass $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann die 2. Gleichung betrachten: $\begin{eqnarray*} \lambda_2 (-x^2+1) + \lambda_3 (-x) = 0 \end{eqnarray*}$ Damit kann ich aber irgendwie nichts anfangen.

Genauso die zweite Aufgabe, diesmal ist $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ gesucht für die Vektoren (1+z, 1-z), (1-z, 1+z). Durch Umformungen komme ich auf $\begin{eqnarray*} (1-z)^2-(1+z)^2=0 \end{eqnarray*}$ in der zweiten Zeile der Matrix, also sind die Vektoren für z=0 lin. abh. Aber was tue ich dann mit der ersten Zeile?

MfG

18.05.2016, 14:00

klarsoweit

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RE: Lineare Unabhängigkeit durch Parameter
Falls du mit Determinanten arbeiten darfst, würde ich damit an die erste Aufgabe rangehen. smile

EDIT: alternativ: in der 2. Zeile darf an der 2. Stelle in deiner Matrix keine Null stehen. Daraus kannst du Bedingungen für x ablesen.

18.05.2016, 14:04

DQQpy

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RE: Lineare Unabhängigkeit durch Parameter
Nein, Determinanten hatten wir komischerweise noch nicht in der Vorlesung.

Zitat:

alternativ: in der 2. Zeile darf an der 2. Stelle in deiner Matrix keine Null stehen. Daraus kannst du Bedingungen für x ablesen.

Das würde ja bedeuten, dass x nicht 1 sein darf, aber wenn man 1 in die Vektoren einsetzt, sind die linear unabhängig.

18.05.2016, 14:07

Leopold

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Irgendwie ist das falsch gelaufen. Ich schätze, du hast den Gauß-Algorithmus falsch angewandt und Rechenfehler begangen.

1. Es ist nicht gestattet, eine Gleichung mit einem Skalar zu multiplizieren, wenn dieser 0 werden kann. Und wenn du es doch tust, mußt du den Fall 0 gesondert untersuchen.

2. Es ist jedoch gestattet, ein beliebiges Vielfaches einer Zeile, auch das Nullfache, zu einer andern zu addieren.

Stelle die Zeilen um:

$\begin{align*} \begin{matrix} 1 & x & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & x & | & 0 \\ x & 1 & 0 & | & 0 \end{matrix} \end{align*}$

Addiere das $\begin{align*} (-x) \end{align*}$ -fache der ersten Gleichung zur dritten und später dann das $\begin{align*} (x^2-1) \end{align*}$ -fache der zweiten Gleichung zur dritten.

18.05.2016, 15:25

DQQpy

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Genau das habe ich auch gemacht, mit dem oben stehendem Ergebnis.

18.05.2016, 15:32

Leopold

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Es ergibt sich bei richtiger Rechnung

$\begin{align*} \begin{matrix} 1 & x & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & x & | & 0 \\ 0 & 0 & x^3 - 2x & | & 0 \end{matrix} \end{align*}$

18.05.2016, 15:46

DQQpy

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Tatsächlich, ich merk grad dass ich einfach nur einen blöden Vorzeichenfehler gemacht habe Hammer

Nagut, als Ergebnisse bekomme ich dann $\begin{eqnarray*} x_1 =0 \wedge x_2=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .
Also muss ich jetzt die 2. Zeile betrachten, für x Werte ungleich der beiden Lösungen annehmen, und dann nach x auflösen? Aber wie mach ich das dann mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda_2 + \lambda_3 x = 0 \end{eqnarray*}$ ?
Leider hatten wir noch nie so Aufgaben, weder in der Übung noch in der Vorlesung...

18.05.2016, 15:57

Leopold

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Zitat:

Original von DQQpy
Nagut, als Ergebnisse bekomme ich dann $\begin{eqnarray*} x_1 =0 \wedge \color{red} x_2=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

Ich würde sagen, da fehlt noch etwas.

Im übrigen mußt du gar nichts mehr rechnen, sondern kannst so argumentieren:

1. Jedes homogene lineare Gleichungssystem besitzt immer die triviale Lösung.

2. Ist $\begin{align*} x^3 - 2x \neq 0 \end{align*}$ , so läßt sich das Gleichungssystem eindeutig von unten nach oben auflösen (beachte die Einsen in der Hauptdiagonalen). Also besitzt es nur die triviale Lösung. In diesem Fall sind die Vektoren linear unabhängig.

3. Ist dagegen $\begin{align*} x^3 - 2x = 0 \end{align*}$ , so verschwindet die letzte Zeile, und das Gleichungssystem besitzt nichttriviale Lösungen. Damit sind die Vektoren in diesem Fall linear abhängig.

18.05.2016, 18:22

DQQpy

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Ahhh okay, alles klar vielen Dank!

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