Scharparameter für einen bestimmten Flächeninhalt berechnen

18.05.2016, 16:20

omegaTM

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Scharparameter für einen bestimmten Flächeninhalt berechnen

Meine Frage:
Edit (mY+): "Verständnisproblem zu einer Abituraufgabe" ist ein gänzlich inhaltsleerer Titel. Das kann alles betreffen.
Die Überschrift soll den INHALT des Themas signifikant und kurz kennzeichnen.
Daher habe ich die Überschrift modifiziert.

Hallo liebe matheboard Mitglieder.
Wir haben eben im Mathematikunterricht eine alte Abiturprüfung bekommen, jedoch scheitere ich an einer simplen Aufgabe.

Geg:

$\begin{eqnarray*} f_{a}(x) = \frac{1}{a} * x^{4} - 2*x^{2} + 4\\(a \in \mathbb{R} , a > 0) \end{eqnarray*}$

Nun soll ich den Wert von a bestimmen, so dass der Graph f_{a} genau ein Flächenstück mit der x-Achse einschließt.

Meine Ideen:
Bei mir hapert es wohl schon an das Verstehen der Aufgabe selbst. Wird nun von mir verlangt, dass ich einen Wert für a finde, so dass es nur eine Fläche insgesamt gibt? Oder soll die Fläche 1FE betragen.

Bei ersterem habe ich schon herausgefunden, durch betrachten einer Skizze und spielen mit einem Funktionsplotter, dass a = 4 sein muss. Aber wie man darauf kommt, weis ich nicht.

Wenn ich hingegen a so verändere, dass hinterher die Fläche 1 beträgt, muss ich hergehen und die Nullstellen suchen als Intervallgrenzen.

Grüße Jonas

18.05.2016, 16:37

Steffen Bühler

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RE: Verständnisproblem zu einer Abituraufgabe
Willkommen im Matheboard!

In der Tat ist Deine erste Vermutung richtig:

Was unterscheidet denn den Graphen für a=4 von allen anderen?

Viele Grüße
Steffen

18.05.2016, 16:41

Mathema

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Hallo Jonas,

herzlich Willkommen hier im Forum!

Willkommen

Es geht also um eine Parabel 4. Ordnung. Machen wir uns erstmal folgendes klar. Da a größer Null ist kommt der Graph aus dem Unendlichen und verschwindet wieder ins Unendliche (Grenzwertbetrachtung. der größte Exponent ist gerade). Wir haben 3 Extrempunkte. Wenn der Graph also von "oben" kommt, müssen wir also zuerst einen Tiefpunkt, dann einen Hochpunkt und dann wieder einen Tiefpunkt haben. Einverstanden?

Wenn nun die Aufgabe verlangt, dass der Graph mit der x-Achse genau ein Flächenstück einschließt, wo müssen dann unsere Tiefpunkte liegen?

edit: Und schon bin ich wieder weg. Aber nicht ohne Steffen ein lieben Gruß hier zu lassen Wink

Wink

18.05.2016, 17:08

omegaTM

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Der Unterschied besteht ja darin:

- Nur zwei statt vier Nullstellen
- keine Flächen unterhalb der X-Achse, da die Funktion soweit gestreckt wurde, dass die Tiefpunkte auf der X-Achse liegen

Also a gibt ja den Streck bzw. Stauchfaktor an, so gesehen kann ich ja so ähnlich vorgehen, wie wenn ich bei einer quadratischen Gleichung den Faktor a suche?

18.05.2016, 17:24

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von omegaTM
Nur zwei statt vier Nullstellen

Richtig, also zwei doppelte Nullstellen. Woran erkennt man die in der Lösungsformel?

Viele Grüße (auch an Mathema zurück)
Steffen

18.05.2016, 17:50

omegaTM

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Lösungsformel? Meinst du jetzt, wenn ich die Funktion substituiere und resubstituiere?
Und dabei $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{Wert} \end{eqnarray*}$ rauskommt. Bin jetzt etwas verwirrt unglücklich

unglücklich

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18.05.2016, 17:54

Steffen Bühler

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Richtig! Es geht um $\begin{align*} \frac{1}{a} \cdot x^{4} - 2 \cdot x^{2} + 4=0 \end{align*}$ , also mit $\begin{align*} z=x^2 \end{align*}$ um $\begin{align*} \frac{1}{a} \cdot z^{2} - 2 \cdot z + 4=0 \end{align*}$ .

Wann hat letztere Gleichung eine (doppelte) Nullstelle?

18.05.2016, 17:57

Schnappschildkröte

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Wenn du y=x² einsetzt, kannst du z.B. die pq-Formel (für y) anwenden.

19.05.2016, 12:00

omegaTM

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$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> &&f_{a}(x) = \frac{1}{a} \cdot x^{4} - 2 \cdot x^{2} + 4<br /> <br /> &&z = x^{2} <br /> <br /> &&f_{a}(z) = \frac{1}{a} \cdot z^{2} - 2 \cdot z + 4<br /> &&f_{a}(z) = 0<br /> <br /> &&0 = \frac{1}{a} \cdot z^{2} - 2 \cdot z + 4 \ \qquad \big \vert \ :\frac{1}{4}<br /> &&0 = z^{2} - 2 \cdot z \cdot a + 4 \cdot a \quad \big \vert \ PQ<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Wie fahre ich hier fort? Das z entspricht ja quasi dem x, allerdings muss ich den Faktor a mitnehmen?

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> &&z_{1/2} = - ( \frac{- 2 \cdot a}{2} ) \pm \sqrt{( \frac{- 2 \cdot a}{2} )^{2} - 4 \cdot a }<br /> &&z_{1} = a + \sqrt{a^{2} - 4 \cdot a } \qquad \ \big \vert \ Ausklammern<br /> &&z_{2} = a - \sqrt{a^{2} - 4 \cdot a } \qquad \ \big \vert \ Ausklammern<br /> &&z_{1} = a + \sqrt{a \cdot (a - 4)} \qquad \big \vert \ Satz \ vom \ Nullprodukt<br /> &&z_{2} = a - \sqrt{a \cdot (a - 4)} \qquad \big \vert \ Satz \ vom \ Nullprodukt<br /> &&<br /> &&z_{1} = 0<br /> &&z_{2} = 4<br /> &&<br /> &&x_{1/2} = x^{2} = 0 \qquad \big \vert \ \pm \sqrt{}<br /> &&x_{1/2} = 0<br /> &&<br /> &&x_{3/4} = x^{2} = 4 \qquad \big \vert \ \pm \sqrt{} <br /> &&x_{3} = 2<br /> &&x_{4} = -2<br /> \end{eqnarray*}$

Darf man überhaupt innerhalb der Wurzel, den Satz vom Nullprodukt anwenden?
Vor allem sieht das auch unmöglich aus, eher gesagt ungewöhnlich Big Laugh

Big Laugh

Zu deiner Frage, eine doppelte Nullstelle erkennt man, wenn die Wurzel Null ist bzw das Ergebnis woraus die Wurzel gezogen werden soll.

19.05.2016, 12:45

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von omegaTM
eine doppelte Nullstelle erkennt man, wenn die Wurzel Null ist bzw das Ergebnis woraus die Wurzel gezogen werden soll.

Richtig. "Das Ergebnis woraus die Wurzel gezogen werden soll" nennt man auch Diskriminante. Ist die bei einer quadratischen Gleichung negativ, gibt es keine reellen Nullstellen. Ist sie positiv, gibt es zwei (es ist ja plusminus die Wurzel).

Und ist sie Null, hat die quadratische Gleichung eben eine doppelte Nullstelle! Also hat die Ursprungsgleichung zwei doppelte Nullstellen, genau das, was wir suchen.

Was bleibt somit zu lösen?

19.05.2016, 13:46

omegaTM

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$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> &&N_{1} \left(2 \ \big \vert \ 0 \right)<br /> &&N_{2} \left(- 2 \ \big \vert \ 0 \right)<br /> &&<br /> && \ N_{1} \ o. \ N_{2} \ einsetzen \ in \ f_{a}(x)<br /> &&<br /> &&0 = \frac{1}{a} \cdot 2^{4} - 2 \cdot 2^{2} + 4<br /> &&0 = \frac{16}{a} - 4 \qquad \big \vert \ +4<br /> &&4 = \frac{16}{a} \qquad \qquad \big \vert \cdot a<br /> &&4 \cdot a = 16 \qquad \ \ \big \vert : 4<br /> &&a = 4 <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Ich habe heute und gestern den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen.

19.05.2016, 13:56

Steffen Bühler

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Mir ist nicht restlos klar, wie Du a=4 berechnest. Du scheinst die Nullstellen x=-2 und x=2 (bzw. z=4) einfach so einzusetzen, ohne zu begründen, warum es gerade die sind und nicht irgendwelche anderen, die zu anderen Werten für a führen.

Noch einmal: wir suchen das a, bei dem f(x) zwei doppelte Nullstellen aufweist. Zuerst muss dieses a berechnet werden, vorher kannst Du diese Nullstellen nicht bestimmen.

Der Weg führt, wie gesagt, am einfachsten über die Diskriminante. Alternativ kannst Du auch den Ansatz verwenden, dass bei den beiden Nullstellen gleichzeitig ein Tiefpunkt vorliegt, aber das wird etwas mehr Rechnerei.

19.05.2016, 14:24

omegaTM

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Kann ich denn nicht die Werte für die Koordinaten der Nullstellen in fa(x) einsetzen?
Und die Funktion nach dem Faktor a auflösen, wie in meinen vorherigen Post.
Ich würde ja gerne ein Bild der Abiturprüfung(Wintersemester 12/13) hochladen, allerdings weis ich nicht, ob das erlaubt ist.

Vor dieser Aufgabe, waren weitere.
1. Eigenschaften bestimmen.
2. Extremwerte in Abhängigkeit von a Hp und die beiden Tp sind zur Kontrolle angegeben.
Theoretisch könnte ich ja dort schon die Y-Koordinate des Tp Null setzen und hätte mein a
3. a Berechnen für vorgegebene Wp Koordinaten(dort bin ich so vorgegangen wie bei 2. also die Y-Koordinate vom Wp Null gesetzt).
4. Skizzieren des Graphen f9 (alle Nullstellen vorgegeben).
5. Flächenberechnung
6. Den Faktor a suchen, so dass die Tiefpunkte verschwinden.

19.05.2016, 14:33

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von omegaTM
Kann ich denn nicht die Werte für die Koordinaten der Nullstellen in fa(x) einsetzen?

Und wo hast Du die Nullstellen her? Du kannst in einer Abiturarbeit schlecht schreiben

Zitat:

durch betrachten einer Skizze und spielen mit einem Funktionsplotter

Nein, glaub mir: es geht nur so wie gezeigt. Aber der Weg über die Diskriminante ist doch nicht so schwer, oder?

EDIT: das hab ich zu spät gelesen:

Zitat:

Original von omegaTM
Theoretisch könnte ich ja dort schon die Y-Koordinate des Tp Null setzen und hätte mein a

Ja, das stimmt. Wenn Du vorher schon die Tiefpunkte allgemein bestimmt hast, ist das dann der elegantere Weg.

EDIT2: ...aber nicht unbedingt weniger rechenintensiv.

19.05.2016, 14:59

sockenschuss

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fstrich(x)= 4*x((1/a)*4x^2-1) -> 3 nullstellen, zwei davon symmetrisch um Null bei +- sqrt(a), die symbolische x-Koordinate des Tiefpunktes.
sqrt(a) in f(x) einsetzen und nullsetzen um die Forderung des Aufliegens auf der X-Achse zu erfüllen, nach a auflösen. Das ganze wg TP-Symmetrie nur einmal machen.
Biquadrat und übrigen Zinnober weglassen und glücklich werden. Sowas ist bei mir jetzt über 15 Jahre her. Also sorgfältig prüfen, diese Idee!

19.05.2016, 15:24

omegaTM

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Ich weis nicht so genau was du meinst. Also der Weg mit dem Satz vom Nullprodukt ist vermutlich falsch?
Möchtest du darauf hinaus, dass ich nur die Diskriminante berechne?

$\begin{eqnarray*} <br /> &&f_{a}(z)<br /> &&<br /> &&D = a^{2} - 4 \cdot a<br /> &&D = 0<br /> &&0 = a^{2} - 4 \cdot a<br /> &&0 = a \cdot ( a -4 )<br /> &&z_{1} = a = 0 \ \vee \ z_{2}= a - 4 = 0 \ \qquad \big \vert +4<br /> &&z_{2}= a = 4<br /> \end{eqnarray*}$

Vielen Dank Sockenschuss Freude

Freude

Jedoch möchte ich gerne auch die komplizierte Fassung kennen, damit ich heute Nacht beruhigt schlafen kann und meine Denkblockade beseitigt wird.

19.05.2016, 15:29

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von omegaTM
Möchtest du darauf hinaus, dass ich nur die Diskriminante berechne?

So ist es. Die Diskriminante muss Null sein, also muss a=4 sein, denn a=0 ist per definitionem ausgeschlossen.

Die Methode von sockenschuss hatten wir ja auch schon besprochen, eben die y-Werte der Tiefpunkte nullzusetzen.

19.05.2016, 15:42

omegaTM

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Natürlich geht an Dich auch ein riesengroßes Dankeschön für Deine Geduld.
Aber wie schreibt man den komplizierteren Rechenweg am sinnvollsten auf?
Oder sollte man sich die Arbeit ersparen und direkt zu der Methode mithilfe der Y-Koordinaten des TPs greifen?

19.05.2016, 15:55

sockenschuss

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Kommt drauf an. In Klausuren ist Zeitökonomie gefragt. Erkenntnistheoretisch gesehen macht es natürlich Sinn sich verschiedene Lösungswege auszudenken.

19.05.2016, 16:08

Steffen Bühler

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Aufgeschrieben wäre das etwa

$\begin{align*} \frac{1}{a} \cdot x^{4} - 2 \cdot x^{2} + 4=0, a>0 \end{align*}$

$\begin{align*} z=x^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \to \frac{1}{a} \cdot z^{2} - 2 \cdot z + 4=0 \end{align*}$

$\begin{align*} \to z^{2} - 2a \cdot z + 4a=0 \end{align*}$

$\begin{align*} \to z_{1/2} = a \pm \sqrt { a^2 -4a} = a \pm \sqrt D \end{align*}$

$\begin{align*} D=0 \to a^2 -4a=0 \to a=4 \end{align*}$

Aber es ist schon richtig: wenn ohnehin vorher schon die x-Koordinaten der Tiefpunkte von f(x) zu $\begin{align*} \pm \sqrt a \end{align*}$ berechnet wurden, bietet es sich an, diese nun einzusetzen. Sowohl sockenschuss als auch Mathema scheinen das für die schnellere Variante zu halten, selbst wenn die Tiefpunkte noch nicht bestimmt worden waren:

$\begin{align*} \frac{1}{a} \cdot x^{4} - 2 \cdot x^{2} + 4=0 \end{align*}$

$\begin{align*} \to \frac{1}{a} \cdot \sqrt a^{4} - 2 \cdot \sqrt a^{2} + 4=0 \end{align*}$

$\begin{align*} \to \frac{1}{a} \cdot a^2 - 2 \cdot a + 4=0 \end{align*}$

$\begin{align*} \to a - 2 \cdot a + 4=0 \end{align*}$

$\begin{align*} \to 4-a=0 \end{align*}$

$\begin{align*} \to a=4 \end{align*}$

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