Faktorringe

19.05.2016, 19:54	Zelda	Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorringe Meine Frage: Hallo Bräuchte dringend Hilfe! Leider konnte ich die letzte VL über Faktorringe nicht besuchen und stehe jetzt auf dem Schlauch, weil ich mit der Definition aus dem Skriptum auch nicht wirklich klar komme :/ Intuitiv würde ich einen Faktorring wie einen Restklassenring interpretieren, nur, dass man eben statt modulo n modulo I hat, also, dass man, anstatt die Restklasse zu einer bestimmten natürlichen Zahl zu berechnen, die Restklasse zu einem Ideal bildet. Leider kann ich diese Interpretation mit der Definition des Skriptums, wonach $\begin{eqnarray} \bar{r}:=r+I:={(r+a\|a \in I)} \end{eqnarray}$ (I als Ideal von R, wobei R ein Ring ist und r Element in R) ist nicht vereinen. Wie soll ich diese Addition verstehen? kann mit bitte jemand ein verständliches Beispiel dazu machen? (Bitte nicht das $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/I= \mathbb{Z}_n \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} I:= \mathbb{Z}.n \end{eqnarray}$ Beispiel, habe mir das schon durchgedacht, nur kann ich das auch nicht mit der Addition sondern nur mit meiner Intuition vereinen ) So und weils so schön ist meine nächste Frage Die Aufgabe lautet nun: Es sei I das von $\begin{eqnarray} x^3-3 \end{eqnarray}$ erzeugte Ideal in $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}[x] \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie a, b, c $\begin{eqnarray} \in \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ so, dass: $\begin{eqnarray} \overline{3+2x+x^2}\cdot \overline{a+bx+c^2}=\bar{1} \; \in \mathbb{Q}[x]/I \end{eqnarray}$ (Restklassenstriche sollten über das ganze Polynom laufen, sry). Schreiben Sie dann $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \bar{x} \end{eqnarray}$ und interpretieren sie das Ergebnis. Meine Ideen: Mein Lösungsansatz war (Wenn ich auf meine Intuition als Definition vertraue): $\begin{eqnarray} (3+2x+x^2)\cdot (a+bx+c^2) \end{eqnarray}$ =m $\begin{eqnarray} \cdot (x^3-3) + \bar{1} \end{eqnarray}$ (Also als Division mit Rest 1 dargestellt, weil das Ergebnis ja $\begin{eqnarray} \bar{1} \end{eqnarray}$ sein soll) Ich hab nun die Polynome ausmultipliziert und nach a, b und c zusammengefasst. Dann habe ich 0,1,-1 als Werte für x eingesetzt, damit ich ein Gleichungssystem erhalte: 1: 6a+6b+6c=m(-2)+1 0: 3a+b+c=m(-3)+1 -1: 2a-2b+2c=m(-4)+1 Meine Frage: Ist das so überhaupt lösbar? Und falls ja, was mache ich mit dem "m"? Ich kann das Gleichungssystem dadurch nicht lösen Habe mir auch schon mal gedacht, dass ich das m für das Gleichungssystem weglassen könnte, weil die Vielfachheit dann bei der "Probe" (Division der Polynome mit eingesetzten Werten a, b, c durch $\begin{eqnarray} x^3-3 \end{eqnarray}$ ) ja berücksichtigt wird,habe ich allerdings schon probiert und es funktioniert nicht... Hat jemand Vorschläge? Wäre für jeden Vorschlag sehr dankbar! Liebe Grüße Edit by IfindU: Lange Striche gehen mit \overline statt \bar/
20.05.2016, 09:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Ideal $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ ist insbesondere eine additive Untergruppe des Rings $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} \overline r=r+I=\{r+i:i\in I\} \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} r\in R \end{eqnarray}$ eine Nebenklasse der Gruppe $\begin{eqnarray} (R,+) \end{eqnarray}$ . Speziell ist $\begin{eqnarray} \overline 0=0+I=\{0+i:i\in I\}=I \end{eqnarray}$ die Nullklasse im Faktorring $\begin{eqnarray} R/I \end{eqnarray}$ . Heißt die Aufgabe nicht vielmehr $\begin{eqnarray} \overline {x^2+2x+3}\cdot \overline{cx^2+bx+a}=\overline 1 \end{eqnarray}$ ? Multipliziere die beiden Polynome, bedenke $\begin{eqnarray} \overline{x^3-3}= \overline 0\Rightarrow \overline {x^3}=\overline 3,\overline {x^4}=\overline {3x} \end{eqnarray}$ , dann geht es mit Koeffizientenvergleich weiter.
26.05.2016, 09:30	Zelda	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen, vielen Dank! Konnte es lösen

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