Stetigkeit in metrischen Räumen

21.05.2016, 21:22

Oggel

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Stetigkeit in metrischen Räumen

Hallo

smile

ich brauche mal eure Hilfe zu folgender Aufgabe.
Also ich habe erst einmal (1) versucht aber mir erschließt sich das noch nicht ganz. Mein Ansatz:
Also erst einmal ist die Funktion ja stetig aufgrund der Verkettung stetiger Fkt.
Den Punkt den man noch untersuchen muss ist 0. Jetzt habe ich folgendes gefunden was ich untersuchen muss:
Für alle Folgen $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ muss folgendes gelten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} d_{1}(x_{n},x) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \tilde{d}_{1}(f(x_{n}),f(x)) = 0<br /> \end{eqnarray*}$

Dann habe ich gedacht nehme ich $\begin{eqnarray*} x_{n} = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$

Also ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} d_{1}(x_{n},x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0<br /> \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f_{1}(\frac{1}{n}, 0) = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

und da

$\begin{eqnarray*} \tilde d_{1} (f(x_{n}), f(x_{n})) = |\frac{1}{n} - \frac{1}{n}| = 0 \end{eqnarray*}$

ist die Funktion stetig? Ist das der richtige Weg?

23.05.2016, 11:06

Oggel

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Push. Niemand da der mir helfen kann?

23.05.2016, 11:23

klarsoweit

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RE: Stetigkeit in metrischen Räumen

Zitat:

Original von Oggel
Dann habe ich gedacht nehme ich $\begin{eqnarray*} x_{n} = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$

Das sind jetzt aber keine Elemente des Urbildraums R² ?

Zitat:

Original von Oggel
Also ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} d_{1}(x_{n},x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0<br /> \end{eqnarray*}$

Wieso bzw. welche Metrik ist denn d_1 ?

Zitat:

Original von Oggel
und da

$\begin{eqnarray*} \tilde d_{1} (f(x_{n}), f(x_{n})) = |\frac{1}{n} - \frac{1}{n}| = 0 \end{eqnarray*}$

ist die Funktion stetig? Ist das der richtige Weg?

Erstens müßtest du $\begin{eqnarray*} \tilde d_{1} (f(x_{n}), f((0,0)) \end{eqnarray*}$ betrachten und zweitens müßte das für alle Folgen x_n gelten, die gegen (0,0) konvergieren.

23.05.2016, 17:50

Oggel

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Also ist mein Ansatz falsch?

d_1 ist die Metrik des Raumes M_1.

Ich weiß echt nicht wie ich anfangen soll. Könntest du mir einen kleinen Tipp geben?

23.05.2016, 19:03

Oggel

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Also ich hab noch einmal probiert:
$\begin{eqnarray*} x_{n} = \begin{pmatrix} \frac{1}{n} \\ \frac{1}{n} \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. für $\begin{eqnarray*} M_{1} = \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d_{1}(\begin{pmatrix} \frac{1}{n} \\ \frac{1}{n} \\\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}) = \sqrt{(\frac{1}{n} - 0)^{2} + (\frac{1}{n} - 0)^{2}} = \frac{2}{n} \end{eqnarray*}$
und

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0 \end{eqnarray*}$

2. für $\begin{eqnarray*} \tilde M_{1} = \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tilde d_{1}(f_{1}(\begin{pmatrix} \frac{1}{n} \\\frac{1}{n} \end{pmatrix}),f_{1}(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} )) = \tilde d_{1}((\frac{1}{2n}),0) = |\frac{1}{2n} - 0| = \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n} = 0 \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} f_{1} \end{eqnarray*}$ stetig.

Wäre das so richtig?

23.05.2016, 21:43

HAL 9000

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Du hörst nicht zu:

Zitat:

Original von klarsoweit
und zweitens müßte das für alle Folgen x_n gelten, die gegen (0,0) konvergieren.

Wenn du es also über Folgen beweisen willst, dann musst du für jede (!) Folge $\begin{align*} (x_n) \end{align*}$ mit $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} d_1(x_n,x)=0 \end{align*}$ die Eigenschaft $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \tilde{d}_1(f(x_n),f(x))=0 \end{align*}$ beweisen!

D.h. es reicht weder $\begin{align*} x_n = \begin{pmatrix} \frac{1}{n}\\ 0\end{pmatrix} \end{align*}$ , $\begin{align*} x_n = \begin{pmatrix} 0\\ \frac{1}{n}\end{pmatrix} \end{align*}$ noch $\begin{align*} x_n = \begin{pmatrix} \frac{1}{n}\\ \frac{1}{n}\end{pmatrix} \end{align*}$ noch alle drei zusammen ... für jede, wirklich jede solche Folge musst du es dann nachweisen. Dass das über konkrete Aufzählungen nicht geht, sollte wohl klar sein - das musst du anders aufziehen: Etwa, indem du $\begin{align*} \tilde{d}_1(f(x_n),f(x)) \end{align*}$ irgendwie mit $\begin{align*} d_1(x_n,x) \end{align*}$ darstellst bzw. abschätzt.

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23.05.2016, 22:52

Oggel

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Okay das leuchtet ein. Aber ich weiß leider nicht wie ich anfangen soll.

24.05.2016, 08:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von Oggel
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(\frac{1}{n} - 0)^{2} + (\frac{1}{n} - 0)^{2}} = \frac{2}{n} \end{eqnarray*}$

Auch wenn es für das eigentliche Thema nicht weiter von Belang ist, wir sind uns einig, daß obiges falsch ist?

Was die eigentliche Aufgabe angeht, wäre folgendes ein denkbarer Ansatz:

Sei (x_n, y_n) eine Folge, die gegen (0, 0) konvergiert. Offensichtlich gilt:

$\begin{eqnarray*} |f_1(x_n, y_n)| = |\frac{x_n^3}{x_n^2 + y_n^2}| = |x_n \cdot \frac{x_n^2}{x_n^2 + y_n^2}| \leq |x_n| \end{eqnarray*}$

Wenn man nun bedenkt, daß (x_n) eine Nullfolge ist, ist der Rest nur noch ein bißchen formale Fleißarbeit. smile

smile

25.05.2016, 21:18

Oggel

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Jop hab eingesehen, dass obiges falsch ist Hammer

Hammer

Ahh ja. Jetzt versteh ich es langsam.
Kurzes Verständnisproblem. Wie kommst du auf die letzte Abschätzung? also $\begin{eqnarray*} \leq |x_{n}| \end{eqnarray*}$
Aber wäre das nicht dadurch schon bewiesen? Da $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist gilt ja:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(x_{n},y_{n}) = f(0,0) = 0 \end{eqnarray*}$

Ich verstehe noch nicht so ganz wieso ich hier die Angabe der Metriken benötige?

26.05.2016, 22:03

Oggel

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Sorry für den Doppelpost, aber ich habe mir mal Gedanken über (2) gemacht. Könnte man das hier nicht mit einer Folge widerlegen, dass $\begin{eqnarray*} f_{2}(x) \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Sei $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ eine Folge mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_{n} = 0 \end{eqnarray*}$
z.B. $\begin{eqnarray*} x_{n} = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Dann müsste für die Stetigkeit ja folgendes gelten:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f_{2}(x_{n}) = f_{2}(0) = 1 \end{eqnarray*}$

Aber da:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f_{2}(x_{n}) = ln(||\frac{1}{n}||) = -\infty \neq f_{1}(0) = 1 \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} f_{2} \end{eqnarray*}$ nicht stetig.

Geht das so?

Danke schonmal smile

smile

27.05.2016, 08:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von Oggel
Kurzes Verständnisproblem. Wie kommst du auf die letzte Abschätzung? also $\begin{eqnarray*} \leq |x_{n}| \end{eqnarray*}$

Langjährige (knapp 40-jährige) Erfahrung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich denke, es ist leicht einzusehen, daß $\begin{eqnarray*} \frac{x_n^2}{x_n^2 + y_n^2} \leq 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von Oggel
Aber wäre das nicht dadurch schon bewiesen? Da $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist gilt ja:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(x_{n},y_{n}) = f(0,0) \end{eqnarray*}$

Das gilt leider nur, wenn f stetig ist. Aber gerade die Stetigkeit ist ja noch zu zeigen. smile

smile

Zitat:

Original von Oggel
Ich verstehe noch nicht so ganz wieso ich hier die Angabe der Metriken benötige?

Über die Definition der Stetigkeit kommen die Metriken ins Spiel.

Zitat:

Original von Oggel
Sei $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ eine Folge mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_{n} = 0 \end{eqnarray*}$
z.B. $\begin{eqnarray*} x_{n} = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Du mußt schon genauer schauen, aus welchem Raum die x_n stammen, in diesem Fall aus R^n. Dein Ansatz läßt sich aber leicht so modifizieren: $\begin{eqnarray*} x_m := (\frac 1 m, 0, ..., 0) \end{eqnarray*}$
(Verwende m statt n, da das n schon für die Raumdimension vergeben ist.)

Zitat:

Original von Oggel
Aber da:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f_{2}(x_{n}) = ln(||\frac{1}{n}||) = -\infty \neq f_{1}(0) = 1 \end{eqnarray*}$

Korrekt muß es lauten: $\begin{eqnarray*} \lim_{m \to \infty} f_{2}(x_m) = \lim_{m \to \infty} ln(||(\frac{1}{m}, 0, ..., 0)||) = ... \end{eqnarray*}$

27.05.2016, 09:08

Oggel

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Okay. Also wäre (2) mit deiner Modifikation bewiesen oder?

Bei (1) habe ich noch irgendwie Probleme. Was muss hier noch gemacht werden?

Danke auf jeden Fall, dass du dir die Mühe machst smile

smile

27.05.2016, 09:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von Oggel
Okay. Also wäre (2) mit deiner Modifikation bewiesen oder?

Nun ja, da stehen noch ein Paar Pünktchen (...), die von dir auszufüllen sind. smile

smile

Zitat:

Original von Oggel
Bei (1) habe ich noch irgendwie Probleme. Was muss hier noch gemacht werden?

Du mußt nach wie vor zeigen, daß $\begin{eqnarray*} |f_1(x_n, y_n)| \end{eqnarray*}$ gegen Null (also gegen f_1(0, 0)) konvergiert. Mittels der von mir angegebenen Abschätzung sollte das kein Problem sein.

Zitat:

Original von Oggel
Danke auf jeden Fall, dass du dir die Mühe machst smile

smile

Gerne.

Willkommen

27.05.2016, 10:00

Oggel

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Mhh. Irgendwie steh ich auf dem Schlauch. Also noch einmal als Zusammenfassung

(1):

$\begin{eqnarray*} |f_1(x_n, y_n)| = |\frac{x_n^3}{x_n^2 + y_n^2}| = |x_n \cdot \frac{x_n^2}{x_n^2 + y_n^2}| \leq |x_n| \end{eqnarray*}$ Und wenn man jetzt n gegen unendlich laufen lässt kommt ja 0 raus da $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist und das ist gleich $\begin{eqnarray*} f_{1}(0,0) \end{eqnarray*}$ ? Sry aber ich weiß irgendwie nicht was ich noch beweisen muss.

(2):

$\begin{eqnarray*} \lim_{m \to \infty} f_{2}(x_m) = \lim_{m \to \infty} ln(||(\frac{1}{m}, 0, ..., 0)||) = -\infty \neq f_{2}(0,...,0) = 1 \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

27.05.2016, 10:09

klarsoweit

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Zitat:

Original von Oggel
$\begin{eqnarray*} |f_1(x_n, y_n)| = |\frac{x_n^3}{x_n^2 + y_n^2}| = |x_n \cdot \frac{x_n^2}{x_n^2 + y_n^2}| \leq |x_n| \end{eqnarray*}$ Und wenn man jetzt n gegen unendlich laufen lässt kommt ja 0 raus da $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist und das ist gleich $\begin{eqnarray*} f_{1}(0,0) \end{eqnarray*}$ ?

Korrekt. Es ging eigentlich nur darum, das mal formal an einem Stück hinzuschreiben. smile

smile

Zitat:

Original von Oggel
$\begin{eqnarray*} \lim_{m \to \infty} f_{2}(x_m) = \lim_{m \to \infty} ln(||(\frac{1}{m}, 0, ..., 0)||) = -\infty \neq f_{2}(0,...,0) = 1 \end{eqnarray*}$

Im Prinzip ja, aber ein kleines formales Zwischenstück fehlt mir:

$\begin{eqnarray*} \lim_{m \to \infty} f_{2}(x_m) = \lim_{m \to \infty} ln(||(\frac{1}{m}, 0, ..., 0)||) = \lim_{m \to \infty} ln(\frac 1 m) = -\infty \neq f_{2}(0,...,0) = 1 \end{eqnarray*}$

27.05.2016, 10:25

Oggel

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Ahh Okay die Norm ausgerechnet alles klar.
Danke schonmal smile

smile

Ich werde mich nachher mal an der (3) versuchen und das hier nochmal posten.

Bei (3) mit dem Epsilon Delta Kriterium oder?

27.05.2016, 12:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von Oggel
Bei (3) mit dem Epsilon Delta Kriterium oder?

Bevor du dich mit Epsilons und Deltas herumschlägst, solltest du dir erst mal klarmachen, was rein formal für die Stetigkeit zu zeigen ist.
Für den eigentlichen Beweis wird dir der "Mittelwertsatz der Integralrechnung" eine Hilfe sein. smile

smile

27.05.2016, 15:30

Oggel

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Mhh auch hier hab ich mal wieder Probleme:
Unförmlich ausgedrückt möchte ich ja zeigen, dass kleine Änderungen an x auch nur kleine Auswirkungen an f(x) haben. Wenn ich das richtig verstanden habe müsste man das folgendermaßen zeigen:

Zu zeigen ist doch: $\begin{eqnarray*} \tilde d_{3}(x,y) < \delta \Rightarrow d_{3}(f,g) < \epsilon \end{eqnarray*}$ oder?

Ich weiß nicht so ganz wie ich anfangen soll:
$\begin{eqnarray*} d_{3}(T_{1}f, T_{1}g) = sup |T_1f(x) - T_1g(x)| \end{eqnarray*}$ irgendwie brauche ich einen kleine Tipp.

27.05.2016, 15:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Oggel
Zu zeigen ist doch: $\begin{eqnarray*} \tilde d_{3}(x,y) < \delta \Rightarrow d_{3}(f,g) < \epsilon \end{eqnarray*}$ oder?

Zum einen ist in dieser Zeile nicht klar, inwieweit $\begin{align*} x,y,f,g \end{align*}$ zusammenhängen.

Zum anderen kann man Stetigkeit ohne passende Quantoren so nicht erklären. unglücklich

unglücklich

Angewandt auf (3) bedeutet Stetigkeit: Für jede Funktion $\begin{align*} f\in M_3 \end{align*}$ sowie jede reelle Zahl $\begin{align*} \varepsilon>0 \end{align*}$ musst du zeigen, dass es eine reelle Zahl $\begin{align*} \delta>0 \end{align*}$ gibt, so dass für alle Funktionen $\begin{align*} g\in M_3 \end{align*}$ mit der Eigenschaft $\begin{align*} d_3(f,g)<\delta \end{align*}$ auch die Ungleichung $\begin{align*} \tilde{d}_3(T_1(f),T_1(g)) < \varepsilon \end{align*}$ gilt.

27.05.2016, 16:33

Oggel

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Mhh okay.
Also meine Überlegung war, dass man evtl auf folgendes kommt am Ende $\begin{eqnarray*} \tilde d_3(T_1(f),T_1(g) = d_3(f,g) \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \delta = \epsilon \end{eqnarray*}$ setzt.

Wäre denn folgender Anfang richtig?:
$\begin{eqnarray*} \tilde d_3(T_1(f),T_1(g)) = | \int_{0}^{1} \! f(x) \, dx - \int_{0}^{1} \! g(x) \, dx | \leq \int_{0}^{1} \! |f(x)-g(x)| \, dx \end{eqnarray*}$

Könnte man hier den Mittelwertsatz der Integralrechnung anwenden, also, dass es ein $\begin{eqnarray*} c \in [0,1] \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! |f(x)-g(x)| \, dx = (1-0) * |f(c)-g(c)| \end{eqnarray*}$ ?

Dann würde die Gleichung ja folgendermaßen weitergehen:
$\begin{eqnarray*} = (1-0) * |f(c)-g(c)| = |f-g| \end{eqnarray*}$ Aber hier komme ich nicht weiter. Eigentlich müsste ja jetzt dort stehen $\begin{eqnarray*} = sup_{x \in [0,1]} |f(x) - g(x)| = d_3(f,g) \end{eqnarray*}$ , damit das Ganze seine Richtigkeit bekommt. Bin ich auf dem richtigen Weg so?

27.05.2016, 16:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von Oggel
Könnte man hier den Mittelwertsatz der Integralrechnung anwenden, also, dass es ein $\begin{eqnarray*} c \in [0,1] \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! |f(x)-g(x)| \, dx = (1-0) * |f(c)-g(c)| \end{eqnarray*}$ ?

Könnte man, ja - auch wenn es einfacher geht.

Zitat:

Original von Oggel
$\begin{eqnarray*} = (1-0) * |f(c)-g(c)| = |f-g| \end{eqnarray*}$

Das letzte = ist falsch, da steht nur ein <. Aber du bist durchaus auf dem richtigen Weg.

Zitat:

Original von Oggel
Also meine Überlegung war, dass man evtl auf folgendes kommt am Ende $\begin{eqnarray*} \tilde d_3(T_1(f),T_1(g) = d_3(f,g) \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \delta = \epsilon \end{eqnarray*}$ setzt.

Ja, so klappt es (allerdings wieder mit < statt =), und du bist ja nahezu durch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.05.2016, 16:49

Oggel

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Sehr gut

smile

Aber ich bekomme den letzten Schritt nicht hin also von $\begin{eqnarray*} |f-g| \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} sup_{x \in [0,1]}(|f(x)-g(x)| \end{eqnarray*}$ Könntest du mir helfen? verwirrt

verwirrt

28.05.2016, 14:25

Oggel

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Achja mich würde noch interessieren wie man es ohne den Mittelwertsatz macht? smile

smile

Danke schonmal smile

smile

28.05.2016, 14:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von Oggel
Aber ich bekomme den letzten Schritt nicht hin also von $\begin{eqnarray*} |f-g| \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} sup_{x \in [0,1]}(|f(x)-g(x)| \end{eqnarray*}$

Es gilt $\begin{align*} |f(x)-g(x)| \leq \sup\limits_{t\in[0,1]} |f(t)-g(t)| = d_3(f,g) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x\in [0,1] \end{align*}$ , das sagt ja das Supremum aus! Das gilt speziell natürlich auch für $\begin{align*} x=c \end{align*}$

Zitat:

Original von Oggel
Achja mich würde noch interessieren wie man es ohne den Mittelwertsatz macht? smile

smile

Danke schonmal smile

smile

Ja einfach indem du schon den Integranden abschätzt, nach der eben genannten Ungleichung:

$\begin{align*} \int\limits_0^1 |f(x)-g(x)| ~ \dd x \leq \int\limits_0^1 d_3(f,g) ~ \dd x = d_3(f,g) \end{align*}$

Dieser Abschätzung würde auch für unstetige f,g klappen, wo der Mittelwertsatz nicht anwendbar ist ... obwohl du hier im vorliegenden Fall natürlich Stetigkeit hast, und somit diese größere Allgemeinheit nicht benötigst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.05.2016, 15:26

Oggel

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Dankeeee

smile

ihr habt mir sehr geholfen!

28.05.2016, 17:12

Musican

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Hey Oggel!

Da du ja scheinbar in meiner Vorlesung zu sitzen scheinst, können wir uns gerne ab undzu per Mail über die Aufgaben austauschen!

Meld dich einfach : [email protected] smile

smile

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