Binomische Formel für kommutierende Matrizen per vollst. Induktion beweisen

22.05.2016, 16:42

Kretos

Binomische Formel für kommutierende Matrizen per vollst. Induktion beweisen

Hallo Leute Wink

.

Folgende Aufgabe:
Seien $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A,B \in \mathbb R^{m x m} \end{eqnarray*}$ .
Beweisen Sie: Wenn A und B kommutieren, dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} (A+B)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom n k A^{k} B^{n-k} \end{eqnarray*}$

Lösungsansatz:
Ich vermute, dass ich das per vollständiger Induktion beweisen kann.
(IA): $\begin{eqnarray*} (A+B)^1 = A+B = B+A = 1 A^0 B^1 + 1 A^1 B^0 = \binom 1 0 A^0 B^{1-0} + \binom 1 1 A^1 B^{1-1} = \sum_{k=0}^1 \binom 1 k A^k B^{1-k} \end{eqnarray*}$ .
(IV) Die Behauptung gelte für ein beliebiges, aber festes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
(IS) n --> n+1
$\begin{eqnarray*} (A+B)^{n+1} = (A+B) (A+B)^n = (A+B) \sum_{k=0}^n \binom n k A^k B^{n-k} = ...? \end{eqnarray*}$

Ab hier komme ich nicht weiter.. Auch wenn ich den Binomialkoeffizienten in den Bruch mit den Fakultäten umschreibe, ist mir unklar, wie ich daraus quasi die Summe bis n+1 gestalten kann.

Wenn ich bei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1} \binom {n+1} k A^k B^{n+1-k} \end{eqnarray*}$ anfange, ist mir leider nicht klar, wie ich den Binomialkoeffizienten so umgestalte, dass ich die (IV) anwenden kann?

22.05.2016, 18:00

Elvis

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Wieso gibt es da etwas zu beweisen ? Wenn A und B kommutieren, ist es doch völlig egal, ob A und B Matrizen oder Hühnereier oder sonst irgendwelche Elemente aus einem Ring sind. Man kennt die binomische Formel aus der Schule, dort wird sie für Zahlen bewiesen, also gilt sie immer und überall.

22.05.2016, 18:39

Leopold

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Zitat:

Original von Elvis
Man kennt die binomische Formel aus der Schule, dort wird sie für Zahlen bewiesen, also gilt sie immer und überall.

Oh je! Vor 63 oder 50 Jahren war das vielleicht noch so. Heute sind wir froh, wenn ein Abiturient ohne Taschenrechner Brüche mit den Nennern 2 oder 4 addieren kann.

22.05.2016, 19:37

Kretos

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Danke für eure Antworten, leider bringen mich diese nicht wirklich weiter Augenzwinkern

Die binomischen Formeln aus der Schule sind idR nur die für Binome 2. Grades, höhergradig macht man (wenn überhaupt) noch mit dem Pascalschen Dreieck. Allerdings dann auch nicht Binomialkoeffizienten.

Mal davon abgesehen ist das eben jetzt meine Aufgaben in der Uni. Ich werde der Dozentin aber deinen "Beweisvorschlag" unterbreiten, Elvis Augenzwinkern

22.05.2016, 19:52

Elvis

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@Kretos
Danke für Dein Vertrauen. smile

Die Zahlen im Pascalschen Dreieck SIND die Binomialkoeffizienten.

Vergiß nicht, die "Hühnereier" zu erwähnen, die habe ich zu Ehren von David Hilbert ins Spiel gebracht.
(Wikipedia: ) Hilbert wird der Ausspruch zugeschrieben, man könne statt „Punkte, Geraden und Ebenen“ jederzeit auch „Tische, Stühle und Bierseidel“ sagen; es komme nur darauf an, dass die Axiome erfüllt sind.

@Leopold

Damals gab es Rechenschieber, die für manche komplizierteren Dinge nützlich sind. Taschenrechner waren noch nicht erfunden, deshalb durften wir in der Schule solch ebenso einfache als auch nützliche Sachen wie den "Satz von Binomi" noch lernen (ich sage jetzt nicht "gute alte Zeit" oder vielleicht sage ich es doch, dann aber nur bezogen auf das hier Diskutierte) .

22.05.2016, 20:10

tatmas

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Mit dem Begriff binomische Formeln beschreibt man i.d.R. die drei Identitäten:
(x+y)²=x²+2xy+y²; (x-y)²=x²-2xy+y²; (x+y)(x-y)=x²-y²

Darum geht es hier nicht, was hier im Eröffnungspost steht ist der binomische Lehrsatz.
Und den beweist man in der Tat gerne mit Induktion.
Es braucht eigentlich nur die Identität
$\begin{eqnarray*} {n \choose k-1}+{n \choose k}={n+1 \choose k} \end{eqnarray*}$
die man ja nach verwendeter Definition der Binomialkoeffizienten relativ leicht zeigen kann.

22.05.2016, 21:31

Kretos

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Ich habe mir gedacht, dass ich irgendwas mit dieser Addition machen muss, aber ich komme nicht drauf..
Mein Problem ist gerade folgendes:
Ich schreibe die Summe bis n+1 wie folgt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1} \binom {n+1} k A^k B^{n+1-k} \end{eqnarray*}$
Selbst wenn ich jetzt den letzten Summanden rausziehe, damit die Summe nur bis n geht (was ja für die Induktionsvoraussetzung sein muss), sieht das ganze wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom {n+1} k A^k B^{n+1-k} + \binom {n+1} {n+1} A^{n+1} B^{n+1-(n+1)} \end{eqnarray*}$ Damit habe ich leider im Binomialkoeffizienten immernoch das n+1 oben stehen..

Ich kriege diese Summer irgendwie nicht sinnvoll auseinander gezogen unglücklich

23.05.2016, 01:26

tatmas

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Wende doch bitte die Identität an die ich hingeschrieben hab, dann steht kein n+1 mehr im Binomialkoeffizienten.

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