Eine Aufgabe zu zahlentheoretischen Funktionen |
23.05.2016, 18:03 | matheboy94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Aufgabe zu zahlentheoretischen Funktionen Es soll gezeigt werden, dass Phi = µ * idN Phi: N->N Phi(n):= #{k,1<=k<=n:ggT(k,n)=1} µ(n):= r ist die Anzahl der verschiedenen Primzahlen in der Primfaktorterlegung. ist der Exponent in der Primfaktorzerlegung. idN bezeichnet die Identität auf N, idN(n)=n, n?natürliche Zahlen Meine Ideen: Ich habe versucht es mit vollständiger Induktion zu beweisen. Induktionsanfang: Phi(1)=µ(1)*idN(1) stimmt Induktionsvoraussetzung: Phi(n)=µ(n)*idN(n) Induktionshypothese: Phi(n+1)=µ(n+1)*idN(n+1) Beim Induktionsschritt komme ich nicht weiter. Bitte um Hilfe bei diesem Schritt. Oder hat jemand einen anderen Lösungsvorschlag? |
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23.05.2016, 18:37 | tatmas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, eine klassische Induktion ist hier auch völlig fehl am Platz. Wie soll die funktionieren, die eulersche phi-Funktion und die Möbius-Funktion haben keine allgemeinen Eigenschaften bzgl. Addition. Beides sind multiplikative Funktionen, nutze das aus. M.a.W. mach eine strukturelle Induktion bzgl. der Primfaktorzerlegung. |
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23.05.2016, 18:42 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aber |
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23.05.2016, 18:49 | tatmas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Elvis was willst du uns damit
sagen? |
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23.05.2016, 18:58 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, damit ist mir auch klar, was mit * gemeint war. Ich habe keine weiteren Fragen |
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23.05.2016, 21:51 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da die hier im Board nun auch nicht tagtäglich aufschlägt, vermutlich nicht mal monatlich, sollte man kurz für alle klarstellen, dass mit * hier die Dirichlet-Faltung (die Formeln dazu hat tatmas ja schon genannt) gemeint ist. |
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