Bernoulli DGL und lineare Substitution

24.05.2016, 19:41

cmplx96

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Bernoulli DGL und lineare Substitution

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zu DGL's.
Und zwar lautet die Aufgabenstellung:

$\begin{eqnarray*} y^{'} = k\cdot y\cdot (R - y) = k\cdot y\cdot R - k\cdot y^{2} \end{eqnarray*}$
Lösen Sie die DGL für y(t) der Störung zweiter Ordnung als Bernoulli DGL und anschließender linearer Substitution.

Meine Ideen:
Ich habe nach Bernoulli substituiert.
Man kann ablesen $\begin{eqnarray*} \alpha = 2 \end{eqnarray*}$ , also;
$\begin{eqnarray*} y = z^{\frac{1}{1-\alpha}} = \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$
also ist $\begin{eqnarray*} y^{'} = \frac{z^{'}}{z^{2}} \end{eqnarray*}$

das alles eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} \frac{z^{'}}{z^{2}} = k\cdot R\cdot \frac{1}{z} - k\cdot \frac{1}{z^{2}} \end{eqnarray*}$

umgeformt:
$\begin{eqnarray*} z^{'} = -k\cdot R\cdot z - k \end{eqnarray*}$

dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} = -k\cdot R\cdot z - k \end{eqnarray*}$

weiter umgeformt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z}\cdot dz = -k^{2}\cdot R\cdot dx \end{eqnarray*}$

Meine Frage:

Die linke Seite kann ich ja einfach integrieren (lnz+c) aber was ist mit der rechten?
Kann ich k und R einfach nach x integrieren oder habe ich falsch umgeformt?

Danke im Voraus!

24.05.2016, 22:22

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} z^{'} = -k\cdot R\cdot z \textcolor{red}{-} k \end{eqnarray*}$

Gehört da nicht ein Pluszeichen hin?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} = -k\cdot R\cdot z - k \end{eqnarray*}$

weiter umgeformt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z}\cdot dz = -k^{2}\cdot R\cdot dx \end{eqnarray*}$

Wie hast du da denn umgeformt? geschockt

geschockt

24.05.2016, 23:02

cmplx96

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Oh, ja stimmt, da habe ich mich verschrieben.
In der Umformung habe ich aber mit +k gerechnet.
Ich habe aber einen Fehler gemacht.
Jetzt komme ich zu diesem Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z}\cdot \frac{dz}{dx} = -k^{2}\cdot R + k\cdot R \end{eqnarray*}$

würde man dann so vorgehen?
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z}\cdot dz = -k^{2}\cdot R \cdot dx + k\cdot R \cdot dx \end{eqnarray*}$
und dann so?
$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{z}\cdot dz =\int -k^{2}\cdot R \cdot dx + \int k\cdot R \cdot dx \end{eqnarray*}$

25.05.2016, 06:51

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z}\cdot \frac{dz}{dx} = -k^{2}\cdot R + k\cdot R \end{eqnarray*}$

Wie kommst du darauf? Poste bitte mal deine Rechnung.

25.05.2016, 18:48

cmplx96

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Mir ist bei der Umformung schon wieder ein Fehler unterlaufen...
Dann habe ich leider keinen Ansatz.
Mich stören das k und das R, wie muss man die behandeln?

25.05.2016, 18:55

Mathema

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Ich gehe einfach mal davon aus, dass k und R beliebige Konstanten sind. Sagt die Aufgabe nichts darüber?

Das weitere Vorgehen hast du doch in deiner Aufgabe:

Zitat:

Lösen Sie die DGL für y(t) der Störung zweiter Ordnung als Bernoulli DGL und anschließender linearer Substitution.

Also:

$\begin{eqnarray*} z' = -k\cdot R\cdot z + k=k(-Rz+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t:=-Rz+1 \end{eqnarray*}$

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25.05.2016, 19:07

cmplx96

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Nein, leider steht da nichts zu.

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} = k\cdot t \end{eqnarray*}$
Integriert man dann tk nach x?

25.05.2016, 19:11

Mathema

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Zitat:

Nein, leider steht da nichts zu.

Dann ist die Aufgabe sch...lecht gestellt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} = k\cdot t \end{eqnarray*}$

Hast du schon mal substituiert innerhalb einer DGL? verwirrt

verwirrt

25.05.2016, 19:26

cmplx96

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Ja aber nur einmal. Ich bin jetzt etwas verwirrt, da ich ja schon z substituiert habe und jetzt noch t. Ich weiß jetzt nicht mehr was ich wonach auflösen soll und was wovon abhängt.

25.05.2016, 19:30

Mathema

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Nach einer Substitution von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ hat kein $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mehr was in deiner DGL was zu suchen. Löse also $\begin{eqnarray*} t:=-Rz+1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auf und berechne $\begin{eqnarray*} z' \end{eqnarray*}$ . Ersetze damit die linke Seite.

25.05.2016, 20:02

cmplx96

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Okay.
ich habe also $\begin{eqnarray*} z = -\frac{t}{R} - 1 \end{eqnarray*}$
aber wird z nicht nach wie vor nach x abgeleitet?
dann ist z' doch 0 ?

25.05.2016, 20:05

Mathema

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Ich dachte eigentlich es wäre klar, dass $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t(x) \end{eqnarray*}$ steht, sehr wohl also von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt.

edit:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} z = -\frac{t}{R} - 1 \end{eqnarray*}$

Das stimmt auch nicht. Dir scheint wieder der Fehler unterlaufen zu sein, der dir bei deinen obigen Umformungen (so meine Vermutung) auch immer unterlaufen ist. Eine Summe durch eine Zahl zu dividieren, bedeutet jeden Summanden zu dividieren!

25.05.2016, 20:24

cmplx96

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oh man schon wieder...
dann habe ich:
$\begin{eqnarray*} z = \frac{-t+1}{R} \end{eqnarray*}$
also:
$\begin{eqnarray*} z^{'} = \frac{-t}{R} \end{eqnarray*}$
eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} \frac{-t}{R} = k\cdot t \end{eqnarray*}$
umgeformt:
$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx} = - k\cdot t \cdot R \end{eqnarray*}$
umgeformt:
$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} = \frac{1}{- k\cdot t \cdot R} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int dx = \int \frac{1}{- k\cdot t \cdot R}\cdot dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x + C = \frac{1}{-k\cdot R} \cdot \ln(t) \end{eqnarray*}$
ergebnis:
$\begin{eqnarray*} t = e^{-k\cdot R\cdot x-k\cdot R\cdot C} \end{eqnarray*}$
ist das in ordnung so?

25.05.2016, 20:37

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} z^{'} = \frac{-t}{R} \end{eqnarray*}$

Du meinst wohl:

$\begin{eqnarray*} z^{'} = \frac{-t'}{R} \end{eqnarray*}$

Ja - ich habe so gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \frac{-t'}{R}=kt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd t}{-t}=kR\dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\ln|t|=kRx+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t}=ce^{kRx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=\frac{1}{ce^{kRx}} \end{eqnarray*}$

Das stimmt insofern mit deiner Rechnung über ein, da $\begin{eqnarray*} e^{-kRC} \end{eqnarray*}$ auch nur wieder eine Konstante ist.

25.05.2016, 21:12

cmplx96

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ja ich meinte natürlich z'.
alles klar!
ist das schon die Lösung oder muss man noch rücksubstituieren?

25.05.2016, 21:17

Mathema

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Dein $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ hatte auch ein Strich - dein $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ nicht!

Das ist natürlich nicht die Lösung, wir suchen $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ .

25.05.2016, 22:07

cmplx96

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$\begin{eqnarray*} t = e^{-k\cdot R\cdot x-k\cdot R\cdot C} \end{eqnarray*}$
rücksubst. $\begin{eqnarray*} t = -R\cdot z+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -R\cdot z+1 = e^{-k\cdot R\cdot x-k\cdot R\cdot C} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = \frac{-e^{-k\cdot R\cdot x-k\cdot R\cdot C}+1}{R} \end{eqnarray*}$

rücksubst. $\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{z} \Leftrightarrow z = \frac{1}{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{y} = \frac{-e^{-k\cdot R\cdot x-k\cdot R\cdot C}+1}{R} \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{-1}{\frac{e^{-k\cdot R\cdot x-k\cdot R\cdot C}+1}{R}} \end{eqnarray*}$

edit:

das lässt sich natürlich noch umformen:
$\begin{eqnarray*} y = \frac{-R}{e^{-k\cdot R\cdot x-k\cdot R\cdot C}+1} \end{eqnarray*}$

ist das richtig?

25.05.2016, 22:29

Mathema

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Wo ist das Minuszeichen vor dem $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ hin?

25.05.2016, 22:34

cmplx96

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das ist in den zähler gewandert aber ich habe vergessen, die +1 zu einer -1 zu machen.
$\begin{eqnarray*} y = \frac{-R}{e^{-k\cdot R\cdot x-k\cdot R\cdot C}-1} \end{eqnarray*}$

25.05.2016, 22:42

Mathema

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Dann passt es nun. Ich hätte noch bei mir den Exponenten im Nenner positiv gemacht, also erweitert. Mit neu definierter Konstante also:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{-R}{ce^{-kRx}-1}=\frac{-Rce^{kRx}}{1-ce^{kRx}}=\frac{Rce^{kRx}}{ce^{kRx}-1} \end{eqnarray*}$

Schönen Feierabend!

Wink

Wink

25.05.2016, 22:56

cmplx96

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Alles klar, super!
Vielen Dank für deine geduldige Hilfe! smile

smile

Schönen Feierabend!

25.05.2016, 23:00

Mathema

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Ich hatte bei meiner letzen Rechnung den Faktor c an einigen Stellen vergessen - ist noch editiert.

Gerne!

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