Teilmengenbeziehung beim orthogonalen Komplement [war: Zeigen, dass...]

25.05.2016, 01:07

HarryHo

Teilmengenbeziehung beim orthogonalen Komplement [war: Zeigen, dass...]

V ist ein endlichdimensionaler Vektorraum über K $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ (R,C)
mit einem Skalarprodukt <-,-> wobei M,N Teilmengen von V sind.

Wie zeige ich , dass

M $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ N ---> $\begin{eqnarray*} N^\perp \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} M^\perp \end{eqnarray*}$ gilt

und dass:

$\begin{eqnarray*} <N>^\perp \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} N^\perp \end{eqnarray*}$ gilt ???

Titel editiert, bitte beim nächsten mal einen aussagekräftigen Titel wählen. (Guppi12)

25.05.2016, 09:27

Elvis

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Das sind Teilmengenbeziehungen. Eine Menge A ist genau dann Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element x aus A auch Element aus B ist. Zwei Mengen A und B sind genau dann gleich, wenn A Teilmenge von B und B Teilmenge von A ist, d.h. jedes x aus A ist in B und jedes x aus B ist in A.

25.05.2016, 13:36

HarryHo

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Ich weiß was es bedeuted wenn , zwei Mengen gleich sind bzw was Teilmengen sind .
Aber wie genau zeige ich es in meiner Aufgabe ?

25.05.2016, 17:30

HAL 9000

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Zu 1.) An sich ist es eine sehr häufig auftretende Situation, die ich allgemeiner so beschreiben würde:

Man hat eine nichtleere Menge $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ und darauf eine beliebige zweistellige Relation $\begin{align*} R\subseteq \Omega\times \Omega \end{align*}$ . Nun kann man $\begin{align*} f:\;\wp(\Omega)\to\wp(\Omega) \end{align*}$ definieren per

$\begin{align*} f(M) := \left\{ \omega\in\Omega \bigm| (\omega,m)\in R \;\forall m\in M \right\} \end{align*}$ .

Eine so definierte Funktion ist zwangsläufig antiton, d.h. $\begin{align*} M\subseteq N \;\Rightarrow\; f(M)\supseteq f(N) \end{align*}$ .

Die Begründung ist simpel:

$\begin{align*} x\in f(N) \;\Rightarrow\; (x,m)\in R \;\forall m\in N \;\stackrel{N\supseteq M}{\Rightarrow}\; (x,m)\in R \;\forall m\in M \;\Rightarrow\; x\in f(M) \end{align*}$

Im vorliegenden Fall ist $\begin{align*} \Omega = V \end{align*}$ , die Relation ist $\begin{align*} R = \left\{ (x,y)\in V^2 \bigm| \langle x,y\rangle = 0 \right\} \end{align*}$ ("senkrecht sein") und darauf aufbauend ist $\begin{align*} f(M)=M^{\perp} \end{align*}$ .

25.05.2016, 18:43

Elvis

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Warum kompliziert, wenn's auch einfach geht ?
$\begin{eqnarray*} x\in N^\perp\Rightarrow x\perp y(\forall y\in N)\Rightarrow x\perp y(\forall y\in M)\Rightarrow x\in M^\perp \end{eqnarray*}$

... analog für die Mengengleichheit

25.05.2016, 19:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Elvis
Warum kompliziert, wenn's auch einfach geht ?

Wenn du dir meinen Beitrag wirklich durchgelesen hättest, dann wäre dieser unsägliche Kommentar wohl unterblieben. Finger2

Denn

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} x\in f(N) \;\Rightarrow\; (x,m)\in R \;\forall m\in N \;\stackrel{N\supseteq M}{\Rightarrow}\; (x,m)\in R \;\forall m\in M \;\Rightarrow\; x\in f(M) \end{align*}$

ist 1:1 der von dir genannte Beweis, nur eben in diesen allgemeineren Kontext eingeordnet.

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