Verteilung eines Münzwurfs mit Abbruchkriterium

25.05.2016, 14:08

Shalec

Verteilung eines Münzwurfs mit Abbruchkriterium

Hallo,
folgende Aufgabe (kurz):
Eine faire Münze wird so lange geworfen, bis Kopf erscheint. Die Anzahl der Würfe sei mit n notiert.
Der Spieler muss dann $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ Euro zahlen. (Im allgemeinen Sinne ein doofes Spiel, auf Charityveranstaltungen aber durchaus Unterhaltsam Big Laugh

)

a) Es bezeichne X die zufällige Spieldauer. Berechne $\begin{eqnarray*} \mathcal L(X) \end{eqnarray*}$ (Ich glaube, dass dies nicht überall so bezeichnet wird, es soll die Verteilung von X bezeichnen)
b) Y bezeichne den Betrag $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ , der zustande gekommen ist. Stellen Sie Y als eine Transformation von X dar, d.h. finden Sie eine Funktion g, sodass Y=g(X).
c) Berechne supp(Y) und die Zähldichte $\begin{eqnarray*} f_Y \end{eqnarray*}$ von Y=g(X).

Zunächst möchte ich gerne a) lösen. Nach dem Skript http://www.math.uni-bremen.de/~dickhaus/...kript-stoch.pdf wird in 3.7 auf Seite 25 die Verteilung von X definiert.
Ich interpretiere nun die Spieldauer als Anzahl der Würfe. Dann ist $\begin{eqnarray*} supp(X)=\mathbb N \end{eqnarray*}$ , oder? (Zu $\begin{eqnarray*} \Omega = \{0,1\}^n \end{eqnarray*}$ )
Ich kann $\begin{eqnarray*} P(X\leq c) \end{eqnarray*}$ analog zur Definition 3.7 betrachten. Aber wie geht es weiter? Ich vermute, dass die Verteilung sehr sehr leicht zu bestimmen geht.

Viele Grüße

25.05.2016, 15:29

magic_hero

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RE: Verteilung eines Münzwurfs mit Abbruchkriterium

Zitat:

Original von Shalec
Ich interpretiere nun die Spieldauer als Anzahl der Würfe. Dann ist $\begin{eqnarray*} supp(X)=\mathbb N \end{eqnarray*}$ , oder? (Zu $\begin{eqnarray*} \Omega = \{0,1\}^n \end{eqnarray*}$ )

Alles korrekt so.

Zitat:

Original von Shalec
Ich kann $\begin{eqnarray*} P(X\leq c) \end{eqnarray*}$ analog zur Definition 3.7 betrachten. Aber wie geht es weiter? Ich vermute, dass die Verteilung sehr sehr leicht zu bestimmen geht.

Wenn man zunächst keine Idee hat, aber einen sehr einfachen Fall wie hier, würde ich zunächst vorschlagen, mal ganz konkret ein paar einfache Beispiele zu betrachten. Berechne doch mal $\begin{eqnarray*} P(X=1), P(X=2), P(X=3) \end{eqnarray*}$ . Wie kannst du (in diesem Fall) daraus $\begin{eqnarray*} P(X \leq 1), P(X \leq 2), P(X \leq 3) \end{eqnarray*}$ bestimmen? Dann sollte es einfach sein, auch $\begin{eqnarray*} P(X \leq c) \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ anzugeben.

25.05.2016, 16:15

Shalec

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RE: Verteilung eines Münzwurfs mit Abbruchkriterium

Zitat:

Original von magic_hero

Zitat:

Alles korrekt so.

Zitat:

Hey

also $\begin{eqnarray*} P(X=1)=\frac{1}{2},\ P(X=2)=\frac{1}{2^2},\ P(X=3)=\frac{1}{2^3} \end{eqnarray*}$
und ist $\begin{eqnarray*} P(X\leq 1) = P(X=1),\ P(X\leq 2)=P(X=1)+P(X=2), ... \end{eqnarray*}$ ?

Da X=0 dem Ereignis entspricht, dass keine Münze geworfen wird. Also das unmögliche Ereignis, wenn man voraussetzt, dass eine Münze geworfen wird Augenzwinkern

Viele Grüße

25.05.2016, 16:26

HAL 9000

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RE: Verteilung eines Münzwurfs mit Abbruchkriterium

Zitat:

Original von Shalec
Da X=0 dem Ereignis entspricht, dass keine Münze geworfen wird. Also das unmögliche Ereignis, wenn man voraussetzt, dass eine Münze geworfen wird Augenzwinkern

Um das Ziel

Zitat:

Original von Shalec
Eine faire Münze wird so lange geworfen, bis Kopf erscheint.

zu erreichen, muss mit Sicherheit mindestens einmal geworfen werden. Da muss man nicht lange über die Unmöglichkeit von Null Würfen (oder gar noch weniger) sinnieren. Augenzwinkern

P.S.: Die von dir angegebenen Zähldichte-Werte $\begin{align*} f_X(n) \end{align*}$ für n=1,2,3 sind erstmal richtig. Freude

25.05.2016, 16:38

Shalec

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RE: Verteilung eines Münzwurfs mit Abbruchkriterium

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Shalec
Da X=0 dem Ereignis entspricht, dass keine Münze geworfen wird. Also das unmögliche Ereignis, wenn man voraussetzt, dass eine Münze geworfen wird Augenzwinkern

Um das Ziel

Zitat:

Original von Shalec
Eine faire Münze wird so lange geworfen, bis Kopf erscheint.

zu erreichen, muss mit Sicherheit mindestens einmal geworfen werden. Da muss man nicht lange über die Unmöglichkeit von Null Würfen (oder gar noch weniger) sinnieren. Augenzwinkern

Ja, das wollte ich trotzdem einfach mal festhalten Big Laugh

Genauso gut könnte man ja darüber nachdenken, was im Falle eines Unfalls passieren würde, oder wenn die Münze doch auf der Kante landet...aber out-of-range.

Zitat:

Original von HAL 9000
P.S.: Die von dir angegebenen Zähldichte-Werte $\begin{align*} f_X(n) \end{align*}$ für n=1,2,3 sind erstmal richtig. Freude

Danke dafür.
Wenn ich deinem dezenten Hinweis nachgehe:
$\begin{eqnarray*} P(X\leq 3) = \int_1^3 f_X(x) dx = F_X(3)-F_X(1)=\frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^2}=\sum\limits_{k=2}^3 \frac{1}{2^k} \quad \Rightarrow\ F_X(n)=\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{2^k} \end{eqnarray*}$ . Insofern meine Interpretation stimmt, müsste ich nun nur noch ableiten. (erinnert an eine Partialsumme einer geometrischen Reihe..)
Dessen Ableitung ist dann: $\begin{eqnarray*} 2^{-n}log(2) \end{eqnarray*}$ (kein Problem nachzurechnen..)
( http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2...+to+x+1%2F2%5Ek )

Nochmal kurz zur Ausgangsüberlegung: $\begin{eqnarray*} P(X\leq n) = F_X(n)-F_X(1). \end{eqnarray*}$ Oder ist die 1 nicht korrekt?

Viele Grüße

25.05.2016, 17:15

HAL 9000

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Hier bei diskreten Zufallsgrößen nicht mit Integralen arbeiten - jedenfalls nicht mit Riemann-Integralen bzw. Integralen über das Lebesguemaß. Es sind Summen (= Lebesgue-Integrale über das Zählmaß), deren Summanden die Zähldichtewerte sind.

25.05.2016, 17:53

Shalec

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Zitat:

Original von HAL 9000
Hier bei diskreten Zufallsgrößen nicht mit Integralen arbeiten - jedenfalls nicht mit Riemann-Integralen bzw. Integralen über das Lebesguemaß. Es sind Summen (= Lebesgue-Integrale über das Zählmaß), deren Summanden die Zähldichtewerte sind.

Ja macht Sinn.. zur Differenzierbarkeit wäre die Stetigkeit eine Voraussetzung, die im diskreten Fall nicht ohne weiteres gegeben ist. Nichts destotrotz:
$\begin{eqnarray*} P(X\leq 3)= P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = \sum\limits_{k=1}^3 \frac{1}{2^k} = \sum\limits_{k=1}^3 \left( \frac{1}{2} \right)^k \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} P(X\leq n) = \sum\limits_{k=1}^n \left( \frac{1}{2} \right)^k =\frac{1-(1/2)^{n+1}}{1-1/2} - 1 = ... = 1-2^{-n}=F_X(n) \end{eqnarray*}$

Mal eine Frage am Rande: Mir ist der exakte Unterschied (oder vielleicht sogar die Bedeutung) von Verteilung und Verteilungsfunktion nicht ganz klar. Die Verteilung gibt doch an, welche Verteilungsfunktion vorliegt. Z.B. durch $\begin{eqnarray*} X\sim \mathcal N(0,1) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \mathcal L(X)=\mathcal N(0,1) \end{eqnarray*}$

Im Skript steht, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal L(X) \end{eqnarray*}$ eindeutig durch die Verteilungsfunktion von X $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F_x(c)=P(X\leq c) \end{eqnarray*}$ .
Aber was soll mir das genau sagen? Wie hängt nun $\begin{eqnarray*} \mathcal L(X) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ zusammen?

http://www.mathe-online.at/materialien/k...llsvariable.pdf
Hier wird der Unterschied einer diskreten und stetigen Verteilungsfunktion sehr gut zusammengefasst (im Skript sind die Posten zu weit auseinander, als das man sie beim Nachschlagen direkt findet. Es ist also kein Nachschlagewerk. :/ Gibt es sowas für die Stochastik? Bitte nicht "Wikipedia" anführen Big Laugh

Ich dachte da tatsächlich an eine Art Buch.)

25.05.2016, 19:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von Shalec
Mal eine Frage am Rande: Mir ist der exakte Unterschied (oder vielleicht sogar die Bedeutung) von Verteilung und Verteilungsfunktion nicht ganz klar. Die Verteilung gibt doch an, welche Verteilungsfunktion vorliegt. Z.B. durch $\begin{eqnarray*} X\sim \mathcal N(0,1) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \mathcal L(X)=\mathcal N(0,1) \end{eqnarray*}$

Im Skript steht, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal L(X) \end{eqnarray*}$ eindeutig durch die Verteilungsfunktion von X $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F_x(c)=P(X\leq c) \end{eqnarray*}$ .
Aber was soll mir das genau sagen? Wie hängt nun $\begin{eqnarray*} \mathcal L(X) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ zusammen?

Meine Haltung zum Begriff "Verteilung": Verteilungsfunktion - Definition und Nachweis

25.05.2016, 19:53

Shalec

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Meine Haltung zum Begriff "Verteilung": Verteilungsfunktion - Definition und Nachweis

Also ist "Verteilung" nichts konkretes, sondern nur ein Wort, welches eine Gruppe von anderen Wörtern umfasst, welche aber wiederrum eine besondere Bedeutung haben. Also könnte ich hier auch Sagen, dass die Verteilung durch $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ gegeben ist?

25.05.2016, 19:57

HAL 9000

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Ja. Wer auf einen dieser konkreten Begriffe aus ist, soll konkret danach fragen - wer nur nach "Verteilung" fragt, muss sich ggfs. mit irgendeinem begnügen, der das Verteilungsmaß eindeutig beschreibt. Die Verteilungsfunktion $\begin{align*} F_X \end{align*}$ ist eine solche Größe, die das leistet.

25.05.2016, 20:07

Shalec

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ja. Wer auf einen dieser konkreten Begriffe aus ist, soll konkret danach fragen - wer nur nach "Verteilung" fragt, muss sich ggfs. mit irgendeinem begnügen, der das Verteilungsmaß eindeutig beschreibt. Die Verteilungsfunktion $\begin{align*} F_X \end{align*}$ ist eine solche Größe, die das leistet.

Gut, Dankeschön. Im Skript wird das nicht ganz so deutlich. Auf der einen Seite wird $\begin{eqnarray*} \mathcal L(X)=\mathbb P(\{ X\in A'\} ) \end{eqnarray*}$ definiert und auf der anderen Seite notiert, dass diese Verteilung eindeutig durch $\begin{eqnarray*} F_X(c)=\mathbb P(X\leq c) \end{eqnarray*}$ vorgegeben wird. Da fängt fast jeder an, der die (möglicherweise hinterlegte) Feinheit der Worte nicht kennt, einen Zusammenhang herstellen zu wollen.

Dann ist a) soweit fertig. Danke dafür.
In b) bildet $\begin{eqnarray*} Y:\ n\mapsto 2^n \end{eqnarray*}$ ab. Dabei ist $\begin{eqnarray*} X:\ \omega \mapsto n(\omega) \end{eqnarray*}$ . Es ist irgendwie naheliegend $\begin{eqnarray*} g:\ \mathbb N \to \mathbb N,\ n\mapsto 2^n \end{eqnarray*}$ zu definieren. So ist dann $\begin{eqnarray*} g\circ X = (\omega\in\{0,1\}^n\mapsto n)\mapsto 2^n \end{eqnarray*}$ abbildet. Oder bin ich damit zu vorschnell?
Interessanterweise ist im Skript eine Voraussetzung zur Transformation, dass X stetig sein soll. Hier ist X doch aber diskret? Edit: Im Skript gibt es einen Satz über eine Transformation einer stetigen Variablen, aber i.A. wird nicht gefordert, das X stetig sein muss. unglücklich

Nun habe ich einfach $\begin{eqnarray*} g:\ x\mapsto 2^x \end{eqnarray*}$ zusammen mit $\begin{eqnarray*} supp(X)=\mathbb N \end{eqnarray*}$ und somit ist $\begin{eqnarray*} Y=g\circ X \end{eqnarray*}$

Jetzt noch die Kleinigkeiten aus c)
$\begin{eqnarray*} supp(Y)= (2^n)_{n\in\mathbb N} \subset \mathbb N \end{eqnarray*}$ (oder wären hier geschweifte Klammern bessern? Runde wecken immer so einen "Reihenfolge ist wichtig" Eindruck. )
Die Dichte muss ich noch berechnen, wird dann direkt editiert oder gepostet.

Edit:
Es gilt $\begin{eqnarray*} P(Y=y)=P(g(X)=y) = P( \{x\ :\ g(x)=y\} ) = P(X\in g^{-1}(y)) = P(g^{-1}(Y)) \end{eqnarray*}$
Für oben angegebenes g ist $\begin{eqnarray*} g^{-1}(y)=log_2(y) \end{eqnarray*}$ . Da g injektiv als Abbildung $\begin{eqnarray*} supp(X)\to supp(Y) \end{eqnarray*}$ folgt insgesamt $\begin{eqnarray*} f_Y=f_X \end{eqnarray*}$ .

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