Ring, Einheiten & (max.) Ideale (bayr. Examen Frühjahr 1989, II, 2)

28.05.2016, 13:55

steph88

Ring, Einheiten & (max.) Ideale (bayr. Examen Frühjahr 1989, II, 2)

Hallo, ich versuche mich derzeit an einer Examensaufgabe aus dem bayrischen Staatsexamen in Algebra 1989, Thema II, Aufgabe 2. Die Aufgabe lautet wie folgt:

Seien K ein Körper und R der Ring der fastkonstanten Folgen in K, d.h. $\begin{eqnarray*} R=\left\{(x_i)_{i\geq 1}|x_i \in K \wedge \exists n \in \mathbb N :x_n =x_{n+k} \forall k\in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$ mit komponentenweiser Addition und Multiplikation. Man zeige:

a) Zu jedem $\begin{eqnarray*} x \in R \end{eqnarray*}$ gibt es eine Einheit $\begin{eqnarray*} u \in R^* \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=x^2u \end{eqnarray*}$ .

b) Zu jedem endlich erzeugte Ideal $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ gibt es ein Idempotent $\begin{eqnarray*} e \in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} I = Re \end{eqnarray*}$ .
(Hinweis: Sind $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Idempotente von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , so zeige man, dass auch
$\begin{eqnarray*} g= e\left(1-f\right) +f \end{eqnarray*}$ ein Idempotent ist und damit $\begin{eqnarray*} Re + Rf = Rg \end{eqnarray*}$ ist.)

c) Die Menge $\begin{eqnarray*} M = \left\{ \left( x_i \right) _{i \geq 1} | x_i \in K \wedge \exists n \in \mathbb N : x_n=x_{n+k} =0 \forall k \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$ bildet ein maximales Ideal in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , das nicht endlich erzeugt ist.

d) Für jedes $\begin{eqnarray*} n &#8805; 1 \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} e(n) = (1,...,1,0,1,1,...) \end{eqnarray*}$ mit 0 an der Stelle n und 1 an allen anderen Stellen. Dann ist $\begin{eqnarray*} \left\{ Re^{\left(n\right)} | n \geq 1 \right\} \end{eqnarray*}$ die Menge aller von M verschiedenen maximalen Ideale von R.

Leider bin ich bei der Aufgabenstellung ziemich planlos, und hab an den meisten Stellen noch nicht mal eine Ansatzidee. Aktuell bin ich so weit:

a) Sei $\begin{eqnarray*} u \in R \end{eqnarray*}$ Einheit $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists s \in R : u\cdot s = s \cdot u = 1 \end{eqnarray*}$

Fall 1: $\begin{eqnarray*} x= s \end{eqnarray*}$

somit:
$\begin{eqnarray*} 1 = s \cdot u \Leftrightarrow x\cdot 1 = x \cdot s \cdot u \Leftrightarrow x\cdot 1 = x \cdot x \cdot u \Leftrightarrow x\cdot 1 = x^2 \cdot u \end{eqnarray*}$

Fall 2: $\begin{eqnarray*} x\neq s \end{eqnarray*}$ .....????

Was mir außerdem bewusst ist, ist, dass für alle Einheiten ( $\begin{eqnarray*} u \in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists s \in R : u\cdot s = s \cdot u = 1 \end{eqnarray*}$ ) , die $\begin{eqnarray*} x=x^2u \end{eqnarray*}$ erfüllen gilt:

$\begin{eqnarray*} x=x^2u \Leftrightarrow x\cdot s = x^2 \cdot u \cdot s \Leftrightarrow x\cdot s = x^2 \cdot 1 \Leftrightarrow x\cdot s = x^2 \Leftrightarrow x\cdot s = x \cdot x \Rightarrow s=x \end{eqnarray*}$

d.h. Existiert eine Einheit $\begin{eqnarray*} u \in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=x^2u \end{eqnarray*}$ so ist x schon das Inverse Element zur Einheit u.

Ich seh nur nicht wie mir das weiterhilft.

b) ich kann ohne Probleme ausrechnen / zeigen dass $\begin{eqnarray*} g^2=g \end{eqnarray*}$ und somit g idempotent. Aber was nützt mir das?

Vielen Dank im Voraus für jegliche Hilfe und Tipps

28.05.2016, 14:41

steph88

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Ansatz bei c)
Mein bisheriger Ansatz zur c)

zeige:

1. M ist Ideal (zeige hierfür: a) M ist Unterring und b) $\begin{eqnarray*} r \cdot M \subseteq M \wedge M \cdot r \subseteq M \end{eqnarray*}$ )
2. M ist nicht endlich erzeugt und maximal

1 a)

- M nicht leer da Nullfolge $\begin{eqnarray*} (x_i)_{i\geq 1} : x_i = 0 \forall i \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ trivialerweise in M enthalten
- $\begin{eqnarray*} M \subseteq R \end{eqnarray*}$ , da für alle Folgen $\begin{eqnarray*} (x_i)_{i\geq 1} \end{eqnarray*}$ in M per Definition ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ab dem die Folgenglieder konstant =0 sind.
- $\begin{eqnarray*} \forall g:= (x_i)_{i\geq 1} , h:= (y_j)_{j\geq 1} \in M \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} g -h \in M \wedge g \cdot h \ in M \end{eqnarray*}$ , da die Addition und Multiplikation komponentenweise definiert ist, d.h. $\begin{eqnarray*} g -h =(x_i +y_j)_{i=j \geq 1} \end{eqnarray*}$ . Somit ist $\begin{eqnarray*} g -h =0 \end{eqnarray*}$ sobald i und j so groß, dass die Folgenglieder von g und h konstant null werden, da dann auch die Differenz der Folgenglieder = 0. und $\begin{eqnarray*} g \cdot h =0 \end{eqnarray*}$ sobald entweder i oder j groß genug, sodass alle nachfolgenden Folgenglieder von g oder h konstant null sind.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow M \end{eqnarray*}$ ist Unterring

Mit ähnlicher Begründung gilt auch 1b) $\begin{eqnarray*} r \cdot M \subseteq M \wedge M \cdot r \subseteq M \forall r \in R \end{eqnarray*}$ )

Betrachtet man $\begin{eqnarray*} g:= (x_i)_{i\geq 1} \in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r:= (z_j)_{j\geq 1} \in R \end{eqnarray*}$ so ergibt sich aufgrund der komponentenweisen Multiplikation:

$\begin{eqnarray*} r \cdot g = ( z_j \cdot x_i)_{i=j\geq 1} =0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} g \cdot r = ( x_i \cdot z_j)_{i=j\geq 1} =0 \end{eqnarray*}$ für i außreichend groß gewählt, sodass das Folgenglied $\begin{eqnarray*} x_i =0 \end{eqnarray*}$ und alle folgenden ebenfalls =0.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow r \cdot M \subseteq M \wedge M \cdot r \subseteq M \forall r \in R \end{eqnarray*}$

noch zz: 2. M ist nicht endlich erzeugt und maximal ...?????? (Wie)

28.05.2016, 18:30

URL

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RE: Ansatz bei c)
Ich würde bei a) die Gleichung umschreiben in $\begin{eqnarray*} 0=x-x^2u=x(1-xu) \end{eqnarray*}$ und mir überlegen, was das für die Folgenglieder bedeutet.

28.05.2016, 19:56

steph88

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RE: Ansatz bei c)

Zitat:

Original von URL
Ich würde bei a) die Gleichung umschreiben in $\begin{eqnarray*} 0=x-x^2u=x(1-xu) \end{eqnarray*}$ und mir überlegen, was das für die Folgenglieder bedeutet.

Ahhh... nette Idee.

die Gleichung $\begin{eqnarray*} 0=x-x^2u=x(1-xu) \end{eqnarray*}$ wäre dann erfüllt wenn die Folgenglieder von x entweder null sind, oder wenn sie invers zu den Folgengliedern von u sind.
Und die Folgenglieder der $\begin{eqnarray*} x \in R \end{eqnarray*}$ werden dadurch nicht zu sehr eingeschränkt, da die Folgenglieder ja jeweils aus dem Körper K stammen, der ja - da Körper - auch immer die Inversen enthält, und so finde ich ein u, welches an den Stellen, an denen x Folgenglieder ungleich 0 hat, eben die Inversen zu diesen Folgengliedern trägt.
Da die Folgenglieder von x ab einem bestimmten Index n konstant den gleichen Wert annehmen, nehmen auch die Folgendglieder von u ab einem selbigen Index einen konstanten (nämlich den inversen) Wert an und liegen somit auf jeden Fall auch wieder in R.
- sehe ich das richtig?

... super danke! jetzt muss ich nur noch rausfinden, wie ich das einigermaßen schön aufs Papier bringe! Big Laugh

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