Gleichmäßige Stetigkeit - Wurzelfunktion und Logarithmusfunktion

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Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Stetigkeit - Wurzelfunktion und Logarithmusfunktion
Meine Frage:
Hallo,
die Aufgabenstellung ist im Anhang zu finden.

Meine Ideen:

(1) Hier haben wir im Skript den Satz:
Zitat:
Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall stetige
Funktion ist gleichmäßig stetig.

Das Intervall [0,1] ist beschränkt und abgeschlossen. Daher dürfte es genügen, Stetigkeit zu zeigen, also:

Sei nun

ist gleichmäßig stetig

1 - Binomische Formel

(2) Hier will ich zeigen dass:

Sei nun

ist gleichmäßig stetig

1 - Binomische Formel
2 - Dreiecksungleichung
-----------------------------------
Ist das bis hierhin soweit richtig?
Bei (3) und (4) bin ich ziemlich ratlos. Allein schon die Intervalle verunsichern mich schon.
Der Hinweis zu der Aufgabe scheint sich ja auf (3) und (4) zu beziehen, aber ich sehe da gerade nicht den Sinn darin, die Ableitung der Funktionen zu betrachten.
Könnt ihr mir da weiterhelfen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Xyarvius,

bei (1) musst du noch den Fall untersuchen. Erstens ist da bei dir gerade und zweitens teilst du durch .

bei (2): Wie kommt dort die Gleichung

zustande? Das müsstest du begründen. Ich würde es vielleicht eher so machen, dass du gleich am Anfang alles mit multiplizierst. Dann erhälst du

. Es folgt .

Diesen Beweis kannst du übrigens auch gleich für (1) benutzen, dann brauchst du keine Fallunterscheidung. Dann ist (1) einfach der Spezialfall, dass liegen und ist schnell abgefrühstückt.


Tipp zur (3): Falls schon bekannt: Mittelwertsatz auf anwenden. Ansonsten überlege dir, dass aus und bereits folgt. Nun nutze die einfache Stetigkeit des Logarithmus in aus (die solltet ihr haben oder?).

Tipp zur (4): Schau dir mal an.
Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,
danke für die Antwort.
Die Idee für (1) und (2) alles mit zu multiplizieren ist klasse. Danke. Im Schritt ist ein Denkfehler von mir drin, ich wollte sagen, dass , aber das haut dann mit nicht mehr hin.

Angenommen ich würde mittels des Mittelwertsatzes die gleichmäßige Stetigkeit für zeigen, wären dann (3) und (4) damit abgehakt, oder funktioniert das mit dem Intervall und dem a in dem Zusammenhang nicht?

Anscheinend ist für alle nicht gleichmäßig stetig? verwirrt

Edit: Noch eine Frage: Damit ich den Mittelwertsatz anwenden kann, muss die Funktion ja stetig sein. Kann man das als gegeben voraussetzen, oder muss ich das vorher zeigen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Also damit wäre (3) dann abgehakt für den Spezialfall , aber das kannst du dann auch direkt machen und musst nicht den Umweg über gehen. Nur weil eine Eigenschaft für alle auf gilt, muss sie noch lange nicht auf auf gelten.

Edit1: Was du da folgern willst, wäre äquivalent dazu, dass aus der Beschränktheit von auf für alle die Beschränktheit dieser Funktion auf folgt. Das ist natürlich falsch!

Zitat:
Anscheinend ist für alle nicht gleichmäßig stetig? verwirrt
Wie willst du für überhaupt definieren?


Edit2: Zu deinem Edit: Du müsstest dafür sogar voraussetzen, dass die Funktion differenziarbar ist. Ob du das voraussetzen kannst oder nicht, musst du in deinen Unterlagen überprüfen. Wenn ihr das schon gezeigt habt, kannst du es benutzen, sonst nicht. Wenn nicht, musst du den anderen Weg gehen, den ich vorgeschlagen habe. Dafür brauchst du nur Stetigkeit von in , was wesentlich schwächer ist. Falls du auch das nicht verwenden kannst, solltest du mal schauen, ob ihr was zur Stetigkeit von Umkehrfunktionen gemacht habt.
Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja, ich verstehe. Danke für die Erklärung. War nur so ein Gedanke smile

Ok, für (3) würde ich also so vorgehen:
Sei ,


1 - Mittelwertsatz

Passt das?

Bei (4) bin ich noch ratlos. ist für gleich . Sowohl als auch passen in das Intervall (0,1].
Und sieht demzufolge sehr ähnlich. Aber wie komme ich von dem einem zum anderen? Ich kann ja nicht einfach sagen, dass . Hammer
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Passt das?


Nein, das passt nicht. Dein hängt von ab und hängt von ab. Da musst du nochmal überlegen.

Tipp zur (4): Mein Hinweis führt zu einem Gegenbeispiel.
 
 
Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »

Zu (3), wobei sind. Wenn ich jetzt setze und beim Abschätzten sage:
dürfe das doch klappen, da da höchstens den Wert 1 annehmen kann aber selber nicht im Intervall enthalten ist, oder?

Zu (4): Ich habe ganz vergessen, dass ich gleichmäßige Stetigkeit nicht zeigen sonder darauf überprüfen soll. Hammer
Bei deinem Hinweis hast du und gesetzt und man würde zeigen, dass man kein findet sodass ?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

(3) stimmt nun.

Zu (4): so in der Art, du musst das aber noch ausführen. Gib ein konkret an und zeige, dass man, egal wie klein man auch wählt, immernoch zwei Werte der angegebenen Art existieren mit Abstand kleiner als , deren Abstand der Funktionswerte zu groß ist.
Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen Wink

ich wollte gerade bei (1)/(2) entsprechend abschätzen und bin auf ein Problem gestoßen:



Wie komme ich von da zu ?

Mit der Dreiecksungleichung komme ich da nicht weiter:


Ich lande auch in einer Sackgasse wenn ich es irgendwie anders probiere.

Bei (4) verstehe ich noch nicht richtig, wie ich genau ich für das Gegenbeispiel vorgehen soll. Sorry, dass ich mich da so schwer tue. kann ich also frei wählen, z.B. sagen, dass sein soll. Wie zeige ich dann dass die Funktionswerte zweier Werte zu groß sind?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe das Problem bei (1) nicht. Du hast du Abschätzung doch längst gemacht.
Nur war bei dir am Ende ein Faktor im Nenner, der nun wegfällt, weil du mit diesem Faktor multipliziert hast.

Zu (4): Immer der Reihe nach, jetzt wähle erstmal ein beliebiges Delta und überlege, wie du dann n wählen kannst, sodass der Abstand von 1/n und 1/n^2 kleiner als Delta ist.
Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann wähle ich für und für . In dem Falle wäre für alle . Jetzt müsste ich betrachten und da dann den Widerspruch bekommen, da dass dann größer als mein gewähltes ist?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss nicht gelten, du kannst nicht wählen. Du kannst aber ganz einfach wählen, wenn .

Genauso muss natürlich nicht in liegen. Noch ein Zusatztipp: Achte darauf, dass unabhängig von gilt, das wirst du bei der Wahl von brauchen.
Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »

Aah, ja, ich verstehe. Ich weiß nicht wie ich n unabhängig von wähle, sodass die Ungleichung für alle gilt. Es muss ja nur entsprechend größer werden, je kleiner wird. Angenommen ich würde ersteinmal nur betrachten, würde ich das so schreiben:

Annahme: ist gleichmäßig stetig
Betrachte
Dann existiert ein mit
Dies gilt insbsondere für und mit .
Aber dann ist . Widerspruch!
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss jetzt erstmal weg, vielleicht kann die in der Zwischenzeit jemand anderes weiterhelfen. Ansonsten schadet es denke ich auch nicht, wenn du noch etwas darüber nachdenkst.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst ja nicht unabhängig von wählen, du kannst aber trotzdem sicherstellen, dass , egal wie aussieht.

Dein Beweis ist so nun fast ok, nur darfst du eben nicht schreiben, dass existiert. Es existiert und du kannst dann eine Fallunterscheidung machen, ob es größer oder kleiner als ist.
Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »

Hrm, das geht doch nicht. Hammer Ich glaube, ich beachte eine wichtige Sache nicht.
Für mit und ist zwar und mit , aber damit hätte ich ja nicht das angepasst, sondern und im ganzen. *seuftz*
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso, das sieht doch gut aus, mein Tipp war ja nur ein Vorschlag, deine Wahl funktioniert auch. Dann brauchst du nicht, sondern kannst gleich und nehmen.

Gefällt mir sogar besser, als meine Idee.
Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. smile Aber wie würdest du n bei deiner Idee setzen? Das interessiert mich jetzt schon.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte gesetzt.
Oder so forumuliert: Sei mit und dann .

Eigentlich hattest du das auch schon, ich kann nicht ganz verstehen, warum du den letzten Schritt nicht gesehen hast (mal abgesehen, dass ich einen eigenen Weg immer für besser halte, als wenn man nur einem Tipp folgt).

Du hattest gesetzt. Da habe ich gesagt, dass bei dieser Wahl keine natürliche Zahl sein muss. Gut, dann rundet man halt auf. Wenn es dann noch größer als 3 sein soll, nimmt man eben noch das Maximum dazu.
Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, sehr interessant. Ich hatte zwar mal an eine Möglichkeit mit Aufrunden gedacht aber aus irgend einem Grund wieder verworfen. Ich bedanke ich mich für deine Hilfe. Echt klasse smile
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