natürliche Randbedingung Variationsrechnung

28.05.2016, 17:53

freddy90

natürliche Randbedingung Variationsrechnung

Meine Frage:
Hallo,
ich soll folgendes zeigen:
Es sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zweimal stetig differenzierbar und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ eine Lösung der Aufgabe
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}f(t,x(t),\dot{x}(t)) dt \rightarrow \min; \quad x(a)=x_a. \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ dann die natürliche Randbedingung
$\begin{eqnarray*} f_{\dot{x}}(b,x_0(b),\dot{x}_0(b))=0 \end{eqnarray*}$
erfüllt.

Meine Ideen:
Die erste Variation von J lautet
$\begin{eqnarray*} \delta J(x_0,h)=\int_{a}^{b}f_{x}(t,x_0(t),\dot{x}_0(t))h(t) + f_{\dot{x}}(t,x_0(t),\dot{x}_0(t)) \dot{h}(t) dt. \end{eqnarray*}$
Ist $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ Lösung des Variationsproblems, so gilt $\begin{eqnarray*} \delta J(x,h)=0 \end{eqnarray*}$ für alle zulässigen h, welche die Randbedingungen $\begin{eqnarray*} h(a)=h(b)=0 \end{eqnarray*}$ erfüllen.
Nach partieller Integration erhalten wir
$\begin{eqnarray*} \delta J(x_0,h)=\int_{a}^{b} \bigg(f_x (t,x_0(t),\dot{x}_0(t)) - \frac{d}{dt} f_{\dot{x}}(t,x_0(t),\dot{x}_0(t))\bigg)h(t) dt+f_{\dot{x}}(t,x_0(t),\dot{x}_0(t))h(t)\Big|_{a}^{b}=0. \end{eqnarray*}$
Natürlich erfüllt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ die Eulersche Differentialgleichung und somit impliziert obige Gleichung
$\begin{eqnarray*} f_{\dot{x}}(b,x_0(b),\dot{x}_0(b))h(b)-f_{\dot{x}}(a,x_0(a),\dot{x}_0(a))h(a)=0. \end{eqnarray*}$
Und jetzt kommt mein Problem. Wenn $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die oben beschriebenen Randbedingungen erfüllen muss, dann folgt daraus nicht die natürliche Randbedingung. $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ darf vermutlich aus einem größeren Raum gewählt werden aber warum? Weiter ist mir nicht klar, warum die natürliche Randbedingung für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nicht gelten darf/kann.

Gruß Freddy

29.05.2016, 12:05

Cugu

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ darf vermutlich aus einem größeren Raum gewählt werden

Ja, ich verstehe auch nicht, warum du in deiner Ableitung nur solche Tangentialvektoren betrachtest fuer die $\begin{eqnarray*} h(b)=0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Die Einschraenkung $\begin{eqnarray*} h(a)=0 \end{eqnarray*}$ ist wegen $\begin{eqnarray*} x(a)=x_a \end{eqnarray*}$ eine Eigenschaft (des Tangentialraums) des Loesungsraums.
Auf der rechten Seite wird aber gar keine wesentliche Randbedingung gestellt.

Die natuerliche Randbedingung darf prinzipiell links auch gelten, aber man kann das i.A. nicht erwarten, da am linken Rand der Wert der Loesung vorgeschrieben ist.
Schreibt man auch rechts einen Wert vor, dann gilt in der Tat $\begin{eqnarray*} h(b)=0 \end{eqnarray*}$ fuer alle Tangentialvektoren und man kann auch dort nicht erwarten, dass die natuerliche Randbedingung gilt.

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