Irreduzibilität Polynom Grad 5

28.05.2016, 22:56

Zelda

Irreduzibilität Polynom Grad 5

Meine Frage:
Hallo smile

Ich habe eine Frage: und zwar möchte ich prüfen, ob das Polynom $\begin{eqnarray*} 5x^5-5x^2-5 \end{eqnarray*}$ einmal in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist. In $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ müsste ich das Kriterium, nach welchem ich die Irreduzibilität an der Restklasse mod. 2 (in diesem Fall) prüfen kann, anwenden können. Aber in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ kann ich das nicht, da die Koeffizienten nicht primitiv sind.
Und: Wie prüfe ich Irreduzibilität in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nach? Gilt da auch das Kriterium von Eisenstein oder das Kriterium der Restklassenringe?

Meine Ideen:
Ich habe nun zwei Lösungsansätze:

1. Kann ich das Polynom $\begin{eqnarray*} 5x^5-5x^2-5 \end{eqnarray*}$ für die Überprüfung der Irreduzibilität einfach durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$ teilen (um zu überprüfen, ob es einen Faktor von Grad 1 gibt), dann durch $\begin{eqnarray*} x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ für einen Faktor vom Grad 2 und schließlich durch $\begin{eqnarray*} x^3+x+1 \end{eqnarray*}$ bzw. durch $\begin{eqnarray*} x^3+x^2+1 \end{eqnarray*}$ für einen Faktor vom Grad 3. Die restlichen Grade bräuchte ich dann ja nicht mehr zu überprüfen, weil die automatisch wegfallen, wenn es keine Faktoren vom Grad 1,2 oder 3 gäbe. Erhalte ich bei jeder Division Rest, dann ist es irreduzibel in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , erhalte ich bei einer Division keinen Rest, dann gibt es einen Faktor des jeweiligen Grades also ist es reduzibel. Darf ich das so machen? oder gilt diese Regel nur in Restklassenringen?

2. Ich hebe 5 heraus und erhalte das Polynom $\begin{eqnarray*} 5(x^5-x^2-1) \end{eqnarray*}$ . Da 5 in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist und das Polynom $\begin{eqnarray*} x^5-x^2-1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ primitive Koeffizienten hat, kann ich auf dieses Polynom das Eisenstein Kriterium anwenden und das Ergebnis für das gesamte Polynom $\begin{eqnarray*} 5(x^5-x^2-1) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gelten lassen.

Zur Frage, wie ich Irreduzibilität in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ für Polynoma gr>3 nachprüfen kann, habe ich leider noch keinen Lösungsansatz...Und selbst wenn die beiden oberen Kriterien auch in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ anwendbar wären, kann es ja trotzdem mal vorkommen, dass in der Restklasse beispielsweise "reduzibel" herauskommt, und ich nachprüfen muss, ob es im Ausgangszahlenbereich auch reduzibel oder doch irreduzibel ist. Wie stelle ich das an? smile

(Also ab Grad 4)

Vielen, vielen Dank im Voraus!! smile

Liebe Grüße

28.05.2016, 23:48

Mulder

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RE: Irreduzibilität Polynom Grad 5

Zitat:

Original von Zelda
Ich hebe 5 heraus und erhalte das Polynom $\begin{eqnarray*} 5(x^5-x^2-1) \end{eqnarray*}$

Und damit ist das Polynom sofort reduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Überleg dir, warum. Vielleicht die Definition von irreduzibel nochmal nachschlagen.

Für $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ : Eisenstein scheidet aus. Welche Primzahl willst du da denn verwenden? Spontan würde ich mal Reduktion modulo 2 probieren. Hab's aber nicht wirklich durchgerechnet.
Edit: Wie ich grad sehe, hast du das ja schon selbst vorgeschlagen. Untersuchen auf Nullstellen in Z/2Z und Division durch x²+x+1 ist aber schon ausreichend. x²+x+1 ist ja das einzige irreduzible Polynom vom Grad 2 in Z/2Z und in einer etwaigen Zerlegung deines Ausgangspolynoms in ein Polynom vom Grad 2 und eines vom Grad 3 müsste also auf jeden Fall der Faktor x²+x+1 vorkommen. Sprich wenn diese Polynomdivision nicht aufgeht, kann es eine solche Zerlegung schon nicht mehr geben. Zusätzliche Polynomdivisionen wären also unnützer Mehraufwand.

Für $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ : Darfst du Methoden der Analysis verwenden? Dann weise die Existenz einer Nullstelle nach. Stichwort Zwischenwertsatz.

04.06.2016, 19:01

Zelda

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RE: Irreduzibilität Polynom Grad 5
Hallo Wink

Ja stimmt, war eigentlich logisch verwirrt

Danke für den Input! smile

Nein, Methoden aus der Analysis sind nicht zulässig, danke trotzdem für den Hinweis smile

Konnte es lösen smile

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Irreduzibilität Polynom Grad 5

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