Basis von Vrm reeller Polynome verifizieren

29.05.2016, 13:13	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von Vrm reeller Polynome verifizieren Edit: Bitte ins Hochschulmathe Forum verschieben. Edit 2: Hat sich erledigt. Hallo, Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} V= \{p(x)=c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0 \| c_i\in \mathbb R\}\subset \mathbb R[x] \end{eqnarray}$ der Vektorraum der Polynome mit reellen Koeffizienten von Grad kleiner gleich 3. Sei $\begin{eqnarray} B=(p1,p2,p3,p4)\subset V \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} p_1(x)=x \ p_2(x)=x^2+2 \ p_3(x)=x^3+2x+1 \ p_4(x)=x^3+x^2+x \end{eqnarray}$ Verifizieren Sie, dass B eine Basis von V ist. Meine Gedanken: Idee: Um zu verifizieren müssen wir zeigen dass die 4 Vektoren $\begin{eqnarray} p_1,..,p_4 \end{eqnarray}$ in V linear unabhängig sind. Um die lineare Unabhängigkeit zu prüfen, macht man ein LGS und schaut ob es einen vollen Rang hat bzw. man schreibt sich die Koordinatenvektoren bezüglich der Gegebenen Basis auf und Gausst sich durch. Frage: Nun bin ich aber genau beim bilden der Koordiantenvektoren ein wenig verwirrt. In der Lösung dieser Aufgabe bilden sie die Koordinatenvektoren zu $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ jeweils durch die Monome $\begin{eqnarray} p^i, i=0,...,3 \end{eqnarray}$ so dass z.B. $\begin{eqnarray} p_3(x)=\begin{pmatrix}1\\2\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wäre. Danach prüfen sie die lineare Unabhängigkeit der so erhaltenen (Abbildungs)-Matrix. Nun: Wieso dürfen wir hier die Korrdinatenvektoren bezüglich der Monome bilden und nicht bezüglich der Basis? Der Koordinatenvektor $\begin{eqnarray} p_3(x)=\begin{pmatrix}1\\2\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist doch bezüglich den Monomen und nicht der Basis B. Ich glaube ich verwechsle irgendwo irgendwas oder sehe einen Zusammenhang nicht - bitte um Aufklärung. Edit: Ich glaub ich habs gerade gerafft. Das sind keine Koordinantevektoren bezüglich der Basis B - ich hab das wohl einfach falsch gelesen. Passt also.
29.05.2016, 18:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Monome 1,x,x²,x³ sind eine Basis. Wenn man p1 bis p4 in dieser Basis darstellt und ihre lineare Unabhängigkeit nachweist, sind sie also auch eine Basis.
31.05.2016, 11:08	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Jup.

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