Kriterien fuer Diagonalisierbarkeit von Matrix

30.05.2016, 14:06

amateurphysiker_

Kriterien fuer Diagonalisierbarkeit von Matrix

Das erste Kriterium ist, dass das charakteristische Polynom (c.P.) vollstaendig in Linearfaktoren zerfaellt.

Das c.P. ist ja definiert als det(A-LE), wobei L=Lamda und E=Einheitsmatrix.
Bei einer 2x2 Matrix ist die Determinante geben durch $\begin{eqnarray*} a_{11} a_{22}-a_{21} a_{12} \end{eqnarray*}$

Was bedeutet es jetzt, dass dieser Ausdruck in "Linearfaktoren zerfaellt"? Das dort keine Summanden mehr stehen?

Kann vielleicht jemand ein Beispiel geben, wo ein solcher Term nicht in "Linearfaktoren zerfaellt"?

Danke!!

30.05.2016, 14:32

Elvis

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$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\Rightarrow A-xE=\begin{pmatrix} -x & 1 \\ -1 & -x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als reelle Matrix.

Das reelle Polynom x²+1 hat genau so viele reelle Nullstellen wie Linearfaktoren Augenzwinkern

30.05.2016, 16:22

amateurphysiker_

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Danke.

Kannst du mir vielleicht sagen was es grundsätzlich bedeutet, dass das c.P. in "Linearfaktoren zerfaellt"?

$\begin{eqnarray*} x^{2}+1 \end{eqnarray*}$ zerfaellt also nicht, wie waere es nur mit $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ ?

30.05.2016, 18:27

Elvis

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$\begin{eqnarray*} x^2+1=(x+i)(x-i) \end{eqnarray*}$ zerfällt in $\begin{eqnarray*} \mathbb C[x] \end{eqnarray*}$ , aber nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ , denn die Nullstellen sind komplex, aber nicht reell.
$\begin{eqnarray*} x^2=(x-0)(x-0) \end{eqnarray*}$ zerfällt in $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ , denn die Nullstellen sind reell.

Ein quadratisches Polynom zerfällt genau dann in $\begin{eqnarray*} \mathbb K[x] \end{eqnarray*}$ , wenn es 2 lineare Faktoren hat.
Ein quadratisches Polynom zerfällt genau dann in $\begin{eqnarray*} \mathbb K[x] \end{eqnarray*}$ , wenn es 2 Nullstellen in $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ hat.

Für Polynome höheren Grades gilt das so einfach nicht. Zum Beispiel hat $\begin{eqnarray*} x^4+2x^2+1=(x^2+1)^2\in \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ keine Nullstelle in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , zerfällt aber in $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ in 2 quadratische Faktoren .

Ein Polynom vom Grad n zerfällt genau dann vollständig in Linearfaktoren in $\begin{eqnarray*} \mathbb K[x] \end{eqnarray*}$ , wenn es (eventuell mit Vielfachheit gezählt) genau n Nullstellen in $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ hat.

30.05.2016, 18:46

amateurphysiker_

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Ok danke. Jetzt hast du mir gesagt WANN ein Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Das ist schon ein Schritt weiter als ich bin. Ich versuche gerade noch zu verstehen was es überhaupt bedeutet "in Linearfaktoren zu zerfallen".

Wie sieht denn ein in Linearfaktoren zerfallenes Polynom aus?

30.05.2016, 19:25

Elvis

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$\begin{eqnarray*} p(x)=a(x-x_1)...(x-x_n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a,x_1,...,x_n\in \mathbb K \end{eqnarray*}$

30.05.2016, 20:55

amateurphysiker_

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Ok, danke!

D.h. das hier wäre nicht "zerfallen" da dort noch ein Summand drinsteckt?
(-4-L)(8-L)+36 ("a")

Die zugrundeliegende Matrix ist
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} -4 & 4 \\ -9 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Edit: Ok jetzt hab ich gemerkt, dass das umgeschrieben werden kann als (L-2)(L-2).

Zwei Fragen dazu:
1. Ist es immer möglich Summen der Form "a" so umzuschreiben?
2. Ist der Ausdruck (L-2)(L-2) jetzt in Linearfaktoren zerfallen oder ist es nicht, da der Term quadratisch vorkommt?

Danke!

30.05.2016, 21:17

yellowman

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Hallo,

Zitat:

Das erste Kriterium ist, dass das charakteristische Polynom (c.P.) vollstaendig in Linearfaktoren zerfaellt.

Das erscheint mir nicht richtig zu sein. Die Kriterien für Diagonalisierbarkeit die mir noch einfallen sind:

- Die Eigenwerte sind paarweise verschieden
- Algebraische Vielfachheit = Geometrische Vielfachheit
- Die Matrix ist symmetrisch
- Im komplexen, die Matrix ist hermitesch.

Viele Grüße!

30.05.2016, 21:42

Cugu

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Zitat:

Algebraische Vielfachheit = Geometrische Vielfachheit

Das muss zusaetzlich noch gelten. Das alleine bringt auch nur Diagonalisierbarkeit ueber $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Ist es immer möglich Summen der Form "a" so umzuschreiben?

Nein, z.B. ist Elvis Beispiel von oben $\begin{eqnarray*} x \cdot x + 1 \end{eqnarray*}$ von der Form. Ueber $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ geht es natuerlich immer.

Zitat:

Ist der Ausdruck (L-2)(L-2) jetzt in Linearfaktoren zerfallen oder ist es nicht, da der Term quadratisch vorkommt?

Das ist egal, das ist trotzdem ein Produkt von Linearfaktoren. Fuer die Diagonalisierbarkeit muesste man jedoch pruefen, ob der zugehoerige Eigenraum zweidimensional ist.

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