Frage zu adjungierter Abbildung

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31.05.2016, 02:28	Tubbie	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu adjungierter Abbildung Es seien U,V und Wendlich-dimensionale, unitäre Vektorräume und $\begin{eqnarray} V^V und W^V \end{eqnarray}$ seien die Dualräume von W und V . Weiter sei $\begin{eqnarray} phi : V->W \end{eqnarray}$ ein Homomorphismus mit dualer Abbildung : $\begin{eqnarray} phi^V : W^V-> V^V \end{eqnarray}$ . Und seien $\begin{eqnarray} j_{V} : V -> V^v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} j_{W}: W-> W^V \end{eqnarray}$ die Isomorphismen, welche durch die Skalarprodukte auf V bzw W induziert werden. Wie zeige ich , dass die adjungierte Abbildung phi* nichts anderes als die Komposition $\begin{eqnarray} (j^(-1))_{V} \circ phi^V \circ j_{w} \end{eqnarray}$ ist ???
31.05.2016, 10:29	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu adjungierter Abbildung Ich gebe dir einen Ansatz: Für $\begin{eqnarray} x\in W, u\in V \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \langle x, \varphi u\rangle_W=\langle \varphi^x, u\rangle_V \end{eqnarray*}$ . Das muss man jetzt nur passend umschreiben.
01.06.2016, 23:31	Tubbie	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu adjungierter Abbildung Wenn ich nach deinem Ansatz anfange umzuformen komme ich auf: $\begin{eqnarray} <x, phi u>_W \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} <phi x , u>_V \end{eqnarray}$ // phi rausziehen und durch <x , u> teilen <=> phi $\begin{eqnarray} <x, u>_W \end{eqnarray}$ / $\begin{eqnarray} <x, u>_V \end{eqnarray}$ = phi* // $\begin{eqnarray} <x, u>_V \end{eqnarray}$ aus dem Bruch ziehen <=> phi $\begin{eqnarray} <x,u>_W \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <x,u>_V \end{eqnarray}$ ^-1 Angenommen bis hierhin liege ich richtig , wie komme ich auf die Endform ???
01.06.2016, 23:53	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu adjungierter Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist doch eine lineare Abbildung und kein Skalar. Das kannst du nicht einfach aus dem Skalarprodukt ziehen
02.06.2016, 00:39	Tubbie	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu adjungierter Abbildung Jetzt wo du es sagst . Aber wenn ich phi nicht rausziehen kann , wie soll ich dann das Ganze umformen?
02.06.2016, 00:47	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu adjungierter Abbildung Die Skalarprodukte lassen sich durch $\begin{eqnarray} j_W \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} j_V \end{eqnarray}$ darstellen. z.B. $\begin{eqnarray} \langle x, \varphi u\rangle_W=j_W(x)(\varphi u) \end{eqnarray}$ .
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02.06.2016, 01:34	Tubbie	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu adjungierter Abbildung Ok , dann habe ich : $\begin{eqnarray} j_W \end{eqnarray}$ (x) (phi u) = $\begin{eqnarray} j_V \end{eqnarray}$ (phi* x) (u) aber ich steh immer noch auf dem Schlauch wegen der Umformung :/
02.06.2016, 20:06	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu adjungierter Abbildung Die letzte Gleichung gilt für alle u. Also sind die Abbildungen gleich.
02.06.2016, 22:26	Tubbie	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu adjungierter Abbildung Aber zu zeigen war ja das $\begin{eqnarray} (j^(-1))_{V} \circ phi^V \circ j_{w} \end{eqnarray}$ = phi* gilt und nicht das die beiden Abbildungen gleich sind
02.06.2016, 23:04	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu adjungierter Abbildung Mal ein paar Gedanken, die du dir selbst hättest machen können Ich habe jetzt die Gleichung $\begin{eqnarray} j_W (x) \varphi = j_V (\varphi^(x)) \end{eqnarray}$ Da steht noch ein x, das ich nicht brauchen kann, dafür fehlt $\begin{eqnarray} \varphi^V \end{eqnarray}$ . Wie war $\begin{eqnarray} \varphi^V \end{eqnarray}$ nochmal definiert? Oder Ich soll die Gleichung $\begin{eqnarray} j_{V}^{-1} \circ \varphi^V \circ j_{w} =\varphi^* \end{eqnarray}$ zeigen. Wendet man da auf beiden Seiten $\begin{eqnarray} j_V \end{eqnarray}$ an, dann ergibt sich $\begin{eqnarray} \varphi^V \circ j_{w} = j_{V} \circ \varphi^* \end{eqnarray}$ Was fehlt da eigentlich noch zu $\begin{eqnarray} j_W (x) \varphi = j_V (\varphi^(x)) \end{eqnarray}$

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