Basis bestimmen

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31.05.2016, 15:12	Tiggger	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis bestimmen Meine Frage: Ich habe zwei Vektoren $\begin{eqnarray} v_{1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix},v_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun will ich einen dritten Vektor $\begin{eqnarray} v_{3} \end{eqnarray}$ finden, sodass $\begin{eqnarray} B:=\left\{v_{1},v_{2},v_{3}\right\} \end{eqnarray}$ eine Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ bildet. Meine Ideen: Dazu: $\begin{eqnarray} v_{3} \end{eqnarray}$ muss orthogonal auf $\begin{eqnarray} v_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_{2} \end{eqnarray}$ stehen und muss normiert sein (Länge 1). Ich habe einen beliebigen Vektor $\begin{eqnarray} w_{3}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ genommen. Über folgenden Zusammenhang $\begin{eqnarray} v_{3}'=w_{3}-\langle v_{1},w_{3} \rangle \cdot v_{1} - \langle v_{2},w_{3} \rangle \cdot v_{2} <br /> v_{3}=\frac{v_{3}'}{\\|v_{3}'\\|} \end{eqnarray}$ habe ich also nun einen dritten Vektor bekommen, der senkrecht auf die ersten beeiden steht(Skalarprodukt=0) und die Länge 1 hat. Aber bilden die drei Vektoren $\begin{eqnarray} v_{1},v_{2},v_{3} \end{eqnarray}$ dann eine Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ ? Das sie alle senkrecht aufeinander stehen können sie ja nicht linear abhängig sein. Also ist eine Bedingung für eine Basis bereits erfüllt. Aber was ist mit der anderen Bedingung, dem Erzeugendensystem?
31.05.2016, 15:30	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis bestimmen Bei einem Vektorraum der Dimension 3 reicht eine Familie von 3 linear unabhängigen Vektoren aus, um ihn zu erzeugen.
31.05.2016, 15:35	Tiggger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis bestimmen Ach okay vielen Dank, dann bin ich ja schon fertig
31.05.2016, 17:22	Tiggger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis bestimmen Ich habe die Ebene $\begin{eqnarray} E=\left\{rw_{1}+sw_{2}:r,s \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P:\mathbb R^{3} \to \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ ist die Orthogonalprojektion auf E. Meine Basis ist $\begin{eqnarray} B:=\left\{\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix},\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\frac{\sqrt{2}}{12}\begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray}$ Was muss ich denn machen, um auf die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray} _{B}M^{P}_{B} \end{eqnarray}$ zu kommen?
31.05.2016, 19:48	Tiggger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis bestimmen Es ist vielleicht noch wichtig zu erwähnen, dass $\begin{eqnarray} w_{1}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w_{2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Außerdem ist B eine Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ .
01.06.2016, 14:01	Tiggger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis bestimmen Kann mir damit keiner helfen?
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02.06.2016, 13:35	Tiggger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis bestimmen Kann mir niemand erklären, wie man das macht?
02.06.2016, 14:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Offenkundig ist $\begin{align} w_1=3v_1 \end{align}$ und $\begin{align} w_2=\sqrt{2}v_2 \end{align}$ , damit lautet die gesuchte Projektionsmatrix im $\begin{align} v \end{align}$ -Koordinatensystem schlicht $\begin{align} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{align}$ . Auf das originale Koordinatensystem zurückgerechnet ist damit basierend auf deiner aus den Spaltenvektoren $\begin{align} v_1,v_2,v_3 \end{align}$ bestehenden Orthogonalmatrix $\begin{align} B \end{align}$ $\begin{align} {}_BM^P_B = B\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\cdot B^t = v_1v_1^T + v_2v_2^T \end{align}$ .
02.06.2016, 20:13	Tiggger	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis bestimmen Tut mir Leid, wenn ich mich etwas dumm anstelle Deinen ersten Schritt kann ich nachvollziehen, also dass $\begin{eqnarray} w_{1}=3v_{1},w_{2}=\sqrt{2}v_{2} \end{eqnarray}$ Aber dann versteh ich leider schon nicht mehr was du machst. Ich habe jetzt mal versucht mir das aufzuteilen: $\begin{eqnarray} _{B}M^{P}_{B} = _{B}M^{id}_{E_{3}} \cdot _{E_{3}}M^{P}_{E_{3}} \cdot _{E_{3}}M^{id}_{B} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} E_{3} \end{eqnarray}$ für die Standardbasis im $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ steht. Und $\begin{eqnarray} _{E_{3}}M^{P}_{E_{3}}=\frac{1}{18} \begin{pmatrix} 17 & 4 & 1 \\ 4 & 2 & -4 \\ 1 & -4 & 17 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
02.06.2016, 20:35	Tiggger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis bestimmen Und wenn ich dann die drei Matrizen miteinander multipliziere komme ich auch auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das müsste jetzt eigentlich meine Abbildungsmatrix sein, wobei ich das echt nicht verstehe...

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