Altklausuraufgaben

01.06.2016, 12:16

numnum

Altklausuraufgaben

Ich bin gerade dabei eine Altklausur zu rechnen und habe doch noch ein paar Probleme

1) Formulieren Sie die Simspon-Regel zur numerischen Approximation des Integrals:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi} \! \sin(x) \, dx \end{eqnarray*}$

2) Für h << r ergibt sich das Volumen einer dünnen Kugelschale. Warum ist die numerische Auswertung für kleine h problematisch? Was kann man tun, damit die Auswertung der Formel genauer wird?
$\begin{eqnarray*} V = 4\pi \frac{(r+h)^3-r^3}{3} \end{eqnarray*}$

3) Es soll die Funktion h(x) = (x-4)(x+4) betrachtet werden.

a Berechnen Sie das Interpolationspolynom vom Grad 1 zu h und den Stützstellen x_0 = -1 und X_1 = 4. Geben Sie die Koeffizienten bezüglich der Lagrange Basis an.
b Approximieren Sie $\begin{eqnarray*} \int_0^1 h(x) dx \end{eqnarray*}$ mit der summierten Trapezregel. Unterteilen Sie dazu das Intervall in zwei Teilintervalle.

1) $\begin{eqnarray*} S(f) = \frac{b-a}{6} (f(a) + f(\frac{b+a}{2}) + f(b)) = \frac{\pi}{6} ( f(0) + f(\frac{\pi}{2}) + (f(0)) = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \end{eqnarray*}$

2) Wenn h gegen Null geht, dann hebt sich r auf und das Volumen wird null. Wie man das umgehen könnte, wüsste ich nicht.

3)
a
$\begin{eqnarray*} h(x_0) = -15 h(x_1) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} l_0(x) = \frac{-1}{6}(x-4) l_1(x) = \frac{1}{5}(x+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(x) = \frac{15}{6}(x-4) \end{eqnarray*}$
b
$\begin{eqnarray*} N = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h = \frac{b-a}{N} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 h(x) dx = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}h_0 + h_1 +h_1 + \frac{1}{2}h_2) = 8 \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} h_0 = h(x_0 = a) = -16 h_1 = h(x_0 + h) = -15.75 h_2 = h(b) = -15 \end{eqnarray*}$
Wobei das ja keine zwei Teilintervalle sind. Soll ich da noch eins einfügen? Also:
$\begin{eqnarray*} h_0 = h(x_0 = a) = -16 h_1 = h(x_0 + h) = -15.75 h_2 = h(x_0 +2h) = -15 h_3 = h(b) = -15 \end{eqnarray*}$

01.06.2016, 13:24

willyengland

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Zu 2 fällt mir spontan ein, dass man den Kubikausdruck ausmultipliziert.
Dann fällt r^3 weg.

01.06.2016, 13:27

HAL 9000

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Bei 2) ist gemeint, dass es zur numerischen Auslöschung kommt, d.h., sobald $\begin{align*} h \end{align*}$ eine gewisse Grenze unterschreitet, wird in der numerischen Berechnung die Differenz plötzlich zu Null, richtig erkannt von dir.

Dem kann man entgegenwirken, indem man das Binom $\begin{align*} (r+h)^3 \end{align*}$ expandiert und dann $\begin{align*} h \end{align*}$ ausklammert:

$\begin{align*} V = 4\pi \frac{r^3+3r^2h+3rh^2+h^3-r^3}{3} = 4\pi h \frac{3r^2+3rh+h^2}{3} \end{align*}$

Diese Formel liefert jetzt (mit Fließkommazahlen gerechnet, wie üblich) auch für noch so kleine $\begin{align*} h>0 \end{align*}$ immer noch positive Volumina.

01.06.2016, 18:48

numnum

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Ah da hätte ich auch drauf kommen können ^^ Big Laugh

Danke.

Wie sieht es mit Aufgabe eins und drei aus? Sind die so ok?

01.06.2016, 19:06

HAL 9000

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Das Ergebnis bei 1) ist Ok, aber offenbar hast du vergessen, bei den beiden Zwischentermen Faktor 4 hinzuschreiben:

Zitat:

Original von numnum (ergänzt)
1) $\begin{eqnarray*} S(f) = \frac{b-a}{6} (f(a) + {\color{red}4}f(\frac{b+a}{2}) + f(b)) = \frac{\pi}{6} ( f(0) + {\color{red}4}f(\frac{\pi}{2}) + (f(0)) = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \end{eqnarray*}$

01.06.2016, 20:24

numnu

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Hab die vier auf meinem Zettel, nur nicht abgetippt ^^

Wie sieht das aus mit drei b und den Teilintervallen?

01.06.2016, 21:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von numnu
Wie sieht das aus mit drei b und den Teilintervallen?

Zuerst mal 3a) Dein Interpolationspolynom ist jedenfalls falsch, da es Bedingung $\begin{align*} p(-1)=-15 \end{align*}$ nicht erfüllt.

Zitat:

Original von numnum
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 h(x) dx = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}h_0 + h_1 +h_1 + \frac{1}{2}h_2) \end{eqnarray*}$

Erneut eine falsche Integrationsnäherungsformel - steht die auch wieder richtig auf dem ominösen Zettel? Richtig ist

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 h(x) dx \approx \frac{1}{2} (\frac{1}{2}h_0 + h_1 + \frac{1}{2}h_2) \end{eqnarray*}$

02.06.2016, 20:12

numnum

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Bei Interpolation hab ich falsch eingesetzt. Blöd, dass ich nicht selber drauf gekommen bin das einfach zu überprüfen, ob es richtig ist. Aber gut, daraus hab ich gelernt und das werde ich dann nicht so schnell vergessen Big Laugh

Danke für die Hilfe! Bei b hab ich wohl die Formel falsch interpretiert. Jetzt hab ich alles, vielen lieben Dank!

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