Sonderformen von pascalschem Dreieck

01.06.2016, 15:08

smudo

Sonderformen von pascalschem Dreieck

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich bin auf der Suche nach der Bezeichnung für Sonderformen von einem pascalschen Dreieck:

s. Bild im Anhang

Also im Prinzip die gleiche Konstruktionsregel wie beim pascalschen Dreieck aber jeder Knoten hat drei mögliche Nachfolger.
Ist jemanemd soetwas schon einmal untergekommen? Gibt es einen Bezeichnung dafür? Ich bin auf der Suche nach einer geschlossenen Form (analog zu n über k beim pascalschen Dreieck) für die einzelnen Zahlenwerte der Knoten.

Vielen Dank und beste Grüße!

Meine Ideen:
Generell geht es mir erst einmal darum das Rad nicht neu zu erfinden. Ich denke das man Aufgrund der regelmäßigen Struktur in der Lage ist eine geschlossene Form zu finden. Ich würde mich allerdings wundern wenn so etwas nicht auch schon vorher gemacht wurde...
Ich konnte dazu nur leider bisher nichts finden.

01.06.2016, 18:12

Cugu

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Ich behaupte folgendes:
Definiere $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}_{n \ell} = \big\{(i,j,k) \in \mathbb{N}^3_{\geq 0} \colon i+j+k=n \text{ und }2k+j = \ell\big\} \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt fuer die Zahlenwerte der Knoten $\begin{eqnarray*} \mathcal{K}_{n,\ell} = \sum_{(i,j,k)\in \mathcal{N}_{n \ell}} \frac{(i+j+k)!}{i!j!k!} \end{eqnarray*}$ fuer $\begin{eqnarray*} n=0,1,2,3,... \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ell=0,1,2,3,...,2n \end{eqnarray*}$ .

02.06.2016, 06:59

smudo

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Besten Dank!
Hast du (oder sonst auch noch jemand anders) eine Idee ob es eine Bezeichnung für ein solches Dreieck gibt?

02.06.2016, 08:04

HAL 9000

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Ein paar erklärende Worte zur Formel von Cugu: Die basiert auf $\begin{align*} (1+x+x^2)^n = \sum_{\ell=0}^{2n} \mathcal{K}_{n,\ell} x^{\ell} \end{align*}$ , man könnte sie noch umschreiben zu $\begin{align*} \mathcal{K}_{n,\ell} = n!\sum_{k=\max(\ell-n,0)}^{\left\lfloor \frac{\ell}{2}\right\rfloor} \frac{1}{(n+k-\ell)!(\ell-2k)!k!} \end{align*}$ mit nur einem Summationsindex.

02.06.2016, 12:47

Cugu

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Zitat:

Original von smudo
Besten Dank!
Hast du (oder sonst auch noch jemand anders) eine Idee ob es eine Bezeichnung für ein solches Dreieck gibt?

Unter Generalization of Pascal's Triangle und Integer-Sequence-Based Construction of Generalized Pascal Triangles kann man das finden.
Wegen $\begin{eqnarray*} (1+x+x^2)^n=... \end{eqnarray*}$ ist das der Spezialfall zu $\begin{eqnarray*} (1,1,1) \end{eqnarray*}$ .

Mir ist sowas bisher auch noch nicht ueber den Weg gelaufen aber 'Generalized Pascal Triangle' war leicht zu raten.
Gestern war mir nur klar, dass die Zahlenwerte der Knoten Summen von Multinomialkoeffizienten sein muessen.
Dass die Zahlenwerte der Knoten von einem Polynom erzeugt werden, wusste ich nicht.

02.06.2016, 12:54

smudo

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Vielen Dank an euch beide! Ihr habt mir sehr geholfen!

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