injektiver Homomorphismus nach n-fachen Anwenden bijektiv

01.06.2016, 18:52

#neuerGast

injektiver Homomorphismus nach n-fachen Anwenden bijektiv

Hallo,

ist folgende Aussage wahr, wenn ja warum?

Sei $\begin{eqnarray*} \varphi:\ G\to G \end{eqnarray*}$ ein injektiver Modulhomomorphismus. Dann existiert ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , s.d. $\begin{eqnarray*} \varphi^n=\varphi\circ...\circ\varphi \end{eqnarray*}$ einen bijektiven Modulhomomorphismus induziert, falls M artinsch ist.

Ich sage: ja, Grund: Die Bildmenge wird in jeder Abbildung ggf. kleiner, bis sie stationär wird. In diesem Fall (sei o.E. n diese Potenz) folgt die Bijektivität.

Sehe ich das richtig?

Viele Grüße

01.06.2016, 19:47

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RE: injektiver Homomorphismus nach n-fachen Anwenden bijektiv
Wenn $\begin{eqnarray*} \varphi:\ G\to G \end{eqnarray*}$ nicht surjektiv ist und "Die Bildmenge wird in jeder Abbildung ggf. kleiner", dann kann doch $\begin{eqnarray*} \varphi^n \end{eqnarray*}$ erst recht nicht surjektiv sein - jedenfalls nicht als Abbildung $\begin{eqnarray*} G\to G \end{eqnarray*}$

01.06.2016, 20:56

#neuerGast

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RE: injektiver Homomorphismus nach n-fachen Anwenden bijektiv

Zitat:

Original von URL
Wenn $\begin{eqnarray*} \varphi:\ G\to G \end{eqnarray*}$ nicht surjektiv ist und "Die Bildmenge wird in jeder Abbildung ggf. kleiner", dann kann doch $\begin{eqnarray*} \varphi^n \end{eqnarray*}$ erst recht nicht surjektiv sein - jedenfalls nicht als Abbildung $\begin{eqnarray*} G\to G \end{eqnarray*}$

Über die Surjektivität von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ weiß man noch nichts. Es wird sich wohl herausstellen, dass für jedes R-Modul G gilt:

Ist G artinsch, $\begin{eqnarray*} \varphi:\ G\to G \end{eqnarray*}$ injektiver Modulhomomorphismus, dann ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus.

In meinem Beweis wollte ich eben nutzen, dass ein solches n existiert. Also $\begin{eqnarray*} \varphi(G) \supseteq \varphi^2(G)\supseteq \varphi^3(G) \supseteq ... \supseteq \varphi^n(G) =\varphi^{n+1}(G) \end{eqnarray*}$
Eben den jenigen Index, ab wo an, die obige Kette stationär wird. Ich würde sagen, dass dies eine Bijektive Abbildung vermittelt aus der dann die Bijektivität von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ folgt.

01.06.2016, 21:38

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RE: injektiver Homomorphismus nach n-fachen Anwenden bijektiv
Ich verstehe folgende Aussage von dir nicht

Zitat:

Ich würde sagen, dass dies eine Bijektive Abbildung vermittelt

Zwischen welchen Mengen soll $\begin{eqnarray*} \varphi^n \end{eqnarray*}$ denn eine Bijektion sein?

Ich denke, man kann mit der Injektivität direkt aus $\begin{eqnarray*} \varphi^n(G) =\varphi^{n+1}(G) \end{eqnarray*}$ folgern, dass man auch eine surjektive Abbildung hat. Also gilt die Behauptung sogar für n=1

02.06.2016, 08:00

#neuerGast

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RE: injektiver Homomorphismus nach n-fachen Anwenden bijektiv

Zitat:

Original von URL
Ich verstehe folgende Aussage von dir nicht

Zitat:

Ich würde sagen, dass dies eine Bijektive Abbildung vermittelt

Also die Bijektion soll zwischen M und $\begin{eqnarray*} \varphi^n(M) \end{eqnarray*}$ sein. Wodurch dann aber die S Surjektivität für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ folgt. Aber ich sehe, was du meinst. Danke

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