|| A || >= max {.....} zeigen

02.06.2016, 15:12

Fragenfrrager

|| A || >= max {.....} zeigen

Gegeben sei :
A $\begin{eqnarray*} \in C^(n x n) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} || A || \end{eqnarray*}$ = max { $\begin{eqnarray*} || Ax || \end{eqnarray*}$ | x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ C^n mit $\begin{eqnarray*} || x || \end{eqnarray*}$ = 1 }

Zu zeigen ist dass :

$\begin{eqnarray*} || A || \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ max {| $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ | | $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Spee(A) }

Ich habe hierfür überhaupt keinen Ansatz .

02.06.2016, 15:25

Cugu

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Zitat:

Ich habe hierfür überhaupt keinen Ansatz .

Einfach die Definition benutzen:
Sei $\begin{eqnarray*} \lambda \in \sigma(A) \end{eqnarray*}$ ... . Wegen $\begin{eqnarray*} \|x\|=1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \|A\|\geq \|Ax\| = ... = |\lambda|. \end{eqnarray*}$

Jetzt noch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ passend wahlen und einen 1-2 Zwischenschritte einfuegen.

02.06.2016, 22:31

Fragenfrrager

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Wofür genau stehen die Punkte ???

und liege ich richtig , dass x = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ /A sein muss ?

02.06.2016, 22:55

Cugu

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Zitat:

Wofür genau stehen die Punkte ???

Das sollst du selbst herausfinden. Da fehlt noch etwas.

Zitat:

und liege ich richtig , dass x = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ /A sein muss ?

Du willst durch eine Matrix dividieren? unglücklich

02.06.2016, 22:59

Fragenfrrager

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ok anstatt durch A zu teilen nehme ich A^-1 und das mal A so bleibt dann nur lampta übrig ???

und welche Definition hast du unten überhaupt benutzt ?

02.06.2016, 23:02

Cugu

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Die Definition der Matrixnorm:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} || A || \end{eqnarray*}$ = max { $\begin{eqnarray*} || Ax || \end{eqnarray*}$ | x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ C^n mit $\begin{eqnarray*} || x || \end{eqnarray*}$ = 1 }

Das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ muss ein Vektor im $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^n \end{eqnarray*}$ sein, das ist $\begin{eqnarray*} \lambda A^{-1} \end{eqnarray*}$ aber nicht. Abgesehen davon ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ vielleicht gar nicht invertierbar.

Wie waere es, wenn du einen Vektor suchst fuer den $\begin{eqnarray*} \|Ax\| = \|\lambda x\| \end{eqnarray*}$ gilt?

02.06.2016, 23:15

Fragenfrrager

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Ich komme einfach nicht drauf traurig

02.06.2016, 23:18

Cugu

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Wie waere es, wenn du einen Vektor suchst fuer den $\begin{eqnarray*} Ax= \lambda x \end{eqnarray*}$ gilt?

02.06.2016, 23:26

Fragenfrrager

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Der einzige der mir einfällt wäre der Null vektor . Aber das kann doch eigentlich nicht sein

02.06.2016, 23:30

Cugu

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Weisst du was das Spektrum einer Matrix ist?

Das heisst versteht du die Aufgabenstelllung:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} || A || \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ max {| $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ | | $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Spee(A) }

02.06.2016, 23:48

Fragenfrrager

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Im Spektrum einer Matrix liegen die Eigenvektoren der Matrix.
Das hilft mir aber irgendwie nicht weiter

02.06.2016, 23:58

Cugu

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Was hat $\begin{eqnarray*} Ax= \lambda x \end{eqnarray*}$ mit Eigenvektoren zu tun?

Zitat:

Im Spektrum einer Matrix liegen die Eigenvektoren der Matrix.

Das stimmt uebrigens nicht.

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