Torsions- und Riemann-Tensor Beweis

02.06.2016, 21:15	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Torsions- und Riemann-Tensor Beweis Meine Frage: Hallo, ich habe folgendes Problem: Ich soll die folgenden Darstellungen für den Torsions- sowie für den Riemann-Tensor beweisen: $\begin{eqnarray} T(X,Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y] \\<br /> R(X,Y,Z) = \nabla_X \nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z - \nabla_{[X,Y]} Z \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} T : C^{\infty}(TM) \times C^{\infty}(TM) \rightarrow C^{\infty}(TM) \,\,\, R : C^{\infty}(TM) \times C^{\infty}(TM) \times C^{\infty}(TM) \rightarrow C^{\infty}(TM) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Gegeben seien die folgenden Definitionen für T und R $\begin{eqnarray} T(X,Y) = (T^i_{jk} X^j Y^k)e_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R(X,Y,Z) = (R^i_{jkl} X^k Y^l Z^j)e_i \end{eqnarray}$ . Doch ich weiß nicht, wie ich die Rechnung fortführen soll. Über jede Hilfe wäre ich dankbar! Viele Grüße Widderchen Die erste Identität für den Torsionstensor habe ich soweit bewiesen, allerdings scheitere ich bei der zweiten Identität!
03.06.2016, 15:48	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Torsions- und Riemann-Tensor Beweis Hallo, die Definition für T(X,Y) habe ich folgendermaßen gezeigt: Es gilt: $\begin{eqnarray} \nabla_X Y = \nabla_X ( \sum_j Y^j e_j) \end{eqnarray}$ wobei e_j eine Koordinatenbasis darstellt. Unter Verwendung der Produktregel erhält man: $\begin{eqnarray} \nabla_X Y = ( \sum_j \nabla_X Y^j e_j + \sum_j Y^j ( \nabla_X e_j) \end{eqnarray}$ Analog gilt: $\begin{eqnarray} \nabla_Y X = ( \sum_j \nabla_Y X^j e_j + \sum_j X^j ( \nabla_Y e_j) \end{eqnarray}$ . Die Differenz dieser beiden Ausdrücke ergibt: $\begin{eqnarray} [latex] \nabla_X Y - \nabla_Y X = \sum_j (\nabla_X Y^j - \nabla_Y X^j) e_j + \sum_j ( Y^j ( \nabla_X e_j) - \sum_i ( X^i ( \nabla_Y e_i) \end{eqnarray}$ . Der Ausdruck links kann auch identifiziert werden als Lie-Klammer: $\begin{eqnarray} \sum_j (\nabla_X Y^j - \nabla_Y X^j) =: [X,Y] \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \sum_j (Y^j \nabla_X e_j) =: \sum_{ijk} X^i Y^j \Gamma_{ij}^k e_k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_i (X^i \nabla_Y e_j) =: \sum_{ijk} X^i Y^j \Gamma_{ji}^k e_k \end{eqnarray}$ wobei die Gammas die Christoffel-Symbole darstellen sollen. Also erhält man: $\begin{eqnarray} \nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y] + \sum_{ijk} (X^i Y^j (\Gamma_{ij}^k - \Gamma_{ji}^k)) \end{eqnarray}$ Zusätzlich gilt unter Verwendung der Definition von T: $\begin{eqnarray} T(X,Y) = \sum_{ijk} (X^i Y^j (\Gamma_{ij}^k - \Gamma_{ji}^k)) = \sum_{ijk} (X^i Y^j T_{ij}^k) \end{eqnarray}$ die Behauptung: $\begin{eqnarray} \nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y] + T(X,Y) \end{eqnarray}$ . Allerdings weiß ich leider noch nicht, wie ich die Identität für den Riemann-Tensor zeigen soll. Erfolgt der Beweis irgendwie analog zur obigen Aussage? Vielen Dank für eure Hilfe! Viele Grüße Widderchen

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