Verständnisfragen zu Matrizen

06.06.2016, 16:58	Tiggger	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisfragen zu Matrizen Meine Frage: 1. Die Menge der symmetrischen Matrizen ist eine Gruppe in Bezug auf die Matrixmultiplikation. 2. Seien 1,-1 die Eigenwerte einer $\begin{eqnarray} 2 \times 2 \end{eqnarray}$ Matrix. Dann ist $\begin{eqnarray} A^{2}=E_{2} \end{eqnarray}$ 3. Sei B diagonalisierbar. Dann ist die Abbildung $\begin{eqnarray} v \mapsto Bb \end{eqnarray}$ bijektiv. 4. Sei A diag.-bar und seien A und B ähnlich. Dann ist B diag.-bar. 5. Sei B eine diag.-bare reelle $\begin{eqnarray} n \times n \end{eqnarray}$ Matrix. Dann sind die Spalten von B eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ Und dann noch eine Frage meinerseits: Wann genau sind Matrizen diagonalisierbar? Diagonalisieren heißt doch letztlich nur die Eigenwerte finden und auf die Diagonale schreiben. Oder ist damit gemeint eine Matrix zu finden, die die Ausgangsmatrix in eine Diagonalmatrix überführt? Meine Ideen: 1. -Es muss Assoziativität gelten $\begin{eqnarray} \checkmark \end{eqnarray}$ -Neutrales Element $\begin{eqnarray} \checkmark \end{eqnarray}$ -Inverses Element $\begin{eqnarray} \times \end{eqnarray}$ , wenn Matrix nicht invertierbar. Somit keine Gruppe in Bezug auf Matrixmultiplikation. 2.Korrekt, da $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}^{2}=E_{2}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{2} \end{eqnarray}$ 3. Keine Ahnung, spontan würde ich eher zu nein tendieren 4. Müsste stimmen, da ja das charakt. Polynom und die Eigenwerte gleich sein müssen. 5. Weiß ich leider auch nicht
06.06.2016, 21:34	Tiggger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfragen zu Matrizen Ergänzung zu 5.: Die Spalten einer Matrix bilden ein Erzeugendensystem, jedoch ist nur ein minimales Erzeugendensystem eine Basis. Das würde jetzt für die Aufgabe bedeuten, dass es nicht unbedingt wahr sein muss.
06.06.2016, 21:55	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfragen zu Matrizen 1. ok 2. De Behauptung ist richtig, deine Begründung nicht ausreichend. Es ist ja nicht gesagt, dass die Matrix eine Diagonalmatrix sein muss 3. du tendierst richtig. Also suche ein Gegenbeispiel 4. De Behauptung ist richtig, deine Begründung nicht ausreichend. So haben $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die Einheitsmatrix gleiche EW und gleiches char. Polynom 5. Die Spalten einer Matrix bilden ein Erzeugendensystem, das ist richtig. Aber nur ein Erzeugendensystem des Bildes der zugehörigen linearen Abbildung und das kann ein echter Unterraum des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}n \end{eqnarray}$ sein. Die Frage ist verwandt mit 3.
06.06.2016, 22:13	Tiggger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfragen zu Matrizen Danke! Und dann noch eine Frage meinerseits: Wann genau sind Matrizen diagonalisierbar? -(Vielfacheiten??)- Diagonalisieren heißt doch letztlich nur die Eigenwerte finden und auf die Diagonale schreiben. Oder ist damit gemeint eine Matrix zu finden, die die Ausgangsmatrix in eine Diagonalmatrix überführt?
06.06.2016, 23:25	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfragen zu Matrizen Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis aus Eigenvektoren der Matrix gibt. Oder anders gesagt: Wenn die Matrix zu einer Diagonalmatrix ähnlich ist. Oder anders gesagt: Die geometrische Vielfachheit jedes EW muss gleich seiner algebraischen Vielfachheit sein. Einfach nur Eigenwerte bestimmen und auf die Diagonale schreiben reicht nicht, siehe mein Beispiel $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die algebraische Vielfachheit des EW 1 ist zwei, seine geometrische aber nur eins. D.h. es gibt zu wenig linear unabhängige EV. Die Matrix ist nicht diagonalisierbar.

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