Dualbasis

07.06.2016, 10:47

balance

Dualbasis

Sei V ein K-vektorraum. Sei $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ der Dualraum von V, also: $\begin{eqnarray*} V^*=Hom_K(V,K)=\{\varphi:V\to K | \varphi linear\} \end{eqnarray*}$

Wir bezeichnen die Linearformen mit $\begin{eqnarray*} \lambda\in V^* \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} \lambda:V\to K \end{eqnarray*}$

Sei weiter $\begin{eqnarray*} B=(B_1,B_2,...,B_n) \end{eqnarray*}$ eine beliebige geordnete Basis von V und sei $\begin{eqnarray*} B^*=(B_1^*,B_2^*,...,B_n^*) \end{eqnarray*}$ die entsprechende Dualbasis.

Für die Dualbasis gilt: $\begin{eqnarray*} B_i^*(B_j)=\delta_{ij} (i,j\in\{1,...,n\}) \end{eqnarray*}$

Frage: Ich verstehe die Bedingung der Dualbasis, also das mit dem Kroneckerdelta, nicht ganz. (Nicht das delta selbst, sonern wieso das genau gelten muss.)

Ich versuch es mal selbst zu erklären.

Sei $\begin{eqnarray*} h\in V^* \end{eqnarray*}$ eine Linearform. Sei $\begin{eqnarray*} P=(P_1,...,P_n) \end{eqnarray*}$ eine geord. basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} v=\sum_{i=1}^n v_iP_i \ \forall v\in V \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} h(v)=h(\sum_{i=1}^n v_iP_i) \end{eqnarray*}$

Da h nach Voraussetzung linear ist, bekommen wir weiter:

$\begin{eqnarray*} h(v)=h(\sum_{i=1}^n v_iP_i)=\sum_{i=1}^n v_ih(P_i) \end{eqnarray*}$ (1)

Nun ist ja $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum. Sei also $\begin{eqnarray*} P^*=(P_1^* ,...,P_n^*) \end{eqnarray*}$ eine geord. Basis von $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ . Wir können also $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ also Linearkombination der Basisvektoren darstellen:

$\begin{eqnarray*} h=\sum_{j=1}^n h_jP_j^* \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} h(v)=\sum_{j=1}^n h_j(v)P_j^* \end{eqnarray*}$ (2)

Aus (1) und (2) bekommen wir:
$\begin{eqnarray*} h(v)=h(\sum_{i=1}^n v_iP_i)=\sum_{i=1}^n v_ih(P_i)=\sum_{i=1}^n\big( v_i\sum_{j=1}^n h_j(P_i)P_j^* \big)=\sum_{i=1}^n\big( v_i\sum_{j=1}^n P_ih_j(1)P_j^* \big)=\sum_{i=1}^n\big( v_iP_i\sum_{j=1}^n h_j(1)P_j^* \big) \end{eqnarray*}$

hmm... Irgendwie kommt ich nicht weiter. Ich weis nicht auf was $\begin{eqnarray*} h_j(1) \end{eqnarray*}$ abgebildet wird. Evtl. hab ich mich auch stark verrennt. Evtl. kann mir ja wer helfen smile

Edit. hmm, die Frage in kurz ist wohl, was die Motivation hinter der Definition: $\begin{eqnarray*} B_i^*(B_j)=\delta_{ij} \end{eqnarray*}$ ist.

07.06.2016, 20:45

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RE: Dualbasis
Richtig wäre
$\begin{eqnarray*} h(v)=h(\sum_{i=1}^n v_iP_i)=\sum_{i=1}^n v_ih(P_i)=\textcolor{red}{\sum_{i=1}^n\big( v_i\sum_{j=1}^n h_jP_j^*(P_i) \big)} \end{eqnarray*}$
Hilft dir das schon auf die Sprünge?

08.06.2016, 12:08

balance

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$\begin{eqnarray*} h(v)=h(\sum_{i=1}^n v_iP_i)=\sum_{i=1}^n v_ih(P_i)=\textcolor{red}{\sum_{i=1}^n\big( v_i\sum_{j=1}^n h_jP_j^*(P_i) \big)} \end{eqnarray*}$

Ich versteh das nicht wirklich. Was genau ist jetzt $\begin{eqnarray*} h_j \end{eqnarray*}$ ? Weiter sehe ich $\begin{eqnarray*} h(P_i)=h_jP^*_j(P_i) \end{eqnarray*}$ nicht.

Analysieren wir es mal. $\begin{eqnarray*} P_i \in P \Ra P_i\in V \end{eqnarray*}$ , ist also ein Vektor. $\begin{eqnarray*} P_i^* \in P^* \Ra P_i^*\in V^* \end{eqnarray*}$ , ist also eine Linearform, sprich lineare Abbildung. Leider sehe ich nicht wirklich, was $\begin{eqnarray*} h_j \end{eqnarray*}$ ist, aber ich nehme mal an, dass es die j-te Komponente vom Koordinatenvektor von $\begin{eqnarray*} h(v) \end{eqnarray*}$ bzgl. der Basis von K ist. Sprich $\begin{eqnarray*} h_j\in K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h: V\to K, h(v) \mapsto \sum_{j=1}^n v_i ? \end{eqnarray*}$ Ich seh nicht so recht, was die Basis hier ist, hmm. Ich denke, das ist der Grund wieso ich deine Umformung nicht wirklich sehe.

Aber überlegen wir nochmal kurz was den die Basis von K sein könnte. Es gilt ja $\begin{eqnarray*} h\in Hom_K(V,K) \end{eqnarray*}$ , also wird h nicht in den Körper K abgebidlet, sondern in den Vektorraum K über K selbst. hmm, die Überlegung bringt mich nicht weiter. :p

08.06.2016, 20:14

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Die $\begin{eqnarray*} h_j \end{eqnarray*}$ hast du doch selbst eingeführt
$\begin{eqnarray*} h=\sum_{j=1}^n h_jP_j^* \end{eqnarray*}$

Zitat:

Weiter sehe ich $\begin{eqnarray*} h(P_i)=h_jP^*_j(P_i) \end{eqnarray*}$ nicht

Das steht auch nicht da, sondern
$\begin{eqnarray*} h(P_i)=\sum_{j=1}^n h_jP_j^*(P_i) \end{eqnarray*}$
und das ergibt sich direkt aus der oberen Darstellung von h

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