Unimodulare Matrix und Hermite-Normalform |
| 07.06.2016, 15:37 | BVBBorussia | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Unimodulare Matrix und Hermite-Normalform Hey wir haben in der Vorlesung folgende Aussagen, die ich gerne beweisen möchten aufgestellt. Sei U [latex ] \in \mathbb Z ^{n\times n} [/latex] (a) U ist genau dann unimodular, wenn A ^{-1} unimodular (b) U ist genau dann unimodular, wenn die Einheitstsmatrix In Hermite-Normalform von U ist (c) [latex ] x \in \mathbb Z ^{n} [/latex] genau dann, wenn [latex ] z = Ux \in \mathbb Z ^{n} [/latex] Meine Ideen: Bin leider da gar nicht mehr im Thema, aber habe mir folgende Überlegungen gemacht. (a) Hier müsste es ja reichen eine Richtung zu zeigen, also muss gezeigt werden, dass wenn U unimodular, dann muss U^-1 ganzzahlig sein und die det von U?1 muss auch wieder aus {+- 1} kommen: Da Det { AB} = Det A * Det B gilt und det {u} = +-1: Det { UU^-1 } = Det {I} = 1 = Det{U} * Det {U^-1} Also muss Det {U^-1} +-1 sein. Zur Ganzzahligkeit: Es gilt A^-1 = Det{A}^-1 * adj(A) Da die Determinante ganzzahlig und bei der der Adjunkten von A nur Multiplikationen und Additionen mit Elementen aus A, also ganzzahligen Elementen stattfinden, muss auch A^-1 ganzzahlig sein. (b) Hier tue ich mich am schwersten. Es gilt: Für UU´ = B B ist die HNF von U und U´ ist auch unimodular Hinrichtung: Sei B die HNF von, dann muss B auch ganzzahlig sein, da sie wieder nur aus Addition und Multiplikation von ganzzahligen Elementen aus U und U´ besteht Es gilt : Det {U} * Det {U^-1} = 1 (siehe oben bei (a) also ist Det{B} =1, dies kann aber nur bedeuten das B = I da B aus ganzzahligen Elementen besteht. Rückrichtung: Wenn die HNF I ist, gilt I = UU´, das geht nur wenn für U´= U^-1 gilt, da U´ unidmodular ist nach (a) U dann auch unimodular, da die Inverse unimodular ist (c) Hinrichtung: Wenn x ganzzahlig, dann hat man wieder nur Addition und Multiplikation ganzzahliger Element also ist auch z ganzzahlig. Rückrichtung: Da z ganzzahlig muss auch zU^?1 wieder ganzzahlig sein, da U^-1 auch wieder ganzzahlig ist. Dies ist aber genau x und damit ist die Rückrichtung gezeigt Eigentlich ist meine Frage ob man das alles so schreiben und machen kann oder ob das nicht zu unpräzise ist. Hoffe ihr könnt mir helfen Freundliche Grüße |
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