Numerische Quadratur

07.06.2016, 21:31

Michael1204

Numerische Quadratur

Hallo zusammen,

ich sitze über folgender Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Ich hoffe, ihr könnt mir da auf die Sprünge helfen.

Für eine eindimensionale FEM-Simulation werden Integrale über dem Einheitsintervall [-1,1] numerisch ausgewertet. Die quadratische Formfunktion für den Punkt x0 -1 lautet:

$\begin{eqnarray*} N(x)= \frac{x\left(x-1\right) }{2} \end{eqnarray*}$ für gegebenes $\begin{eqnarray*} f(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$ muss unter anderem das Integral: $\begin{eqnarray*} I= \int_{-1}^{1} \!N(x) f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} \! \frac{x\left(x-1 \right)\cos(x) }{2} \, dx \end{eqnarray*}$ berechnet werden.

Aufgabenteil a)
Ermitteln Sie für den Integranden $\begin{eqnarray*} N(x)f(x) \end{eqnarray*}$ von I ein Interpolationspolynom $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ zweiter Ordnung zu den Stützstellen x1=-1, x2=0 und x3=1. Approximieren Sie I, indem Sie p(x) über dem Intervall [-1,1] integrieren.

Das Problem ist, das ich nicht mal genau weiß, wie ich auf das Interpolationspolynom komme. Ich weiß das es die Möglichkeit gibt das Polynom über ein lineares Gleichungssystem oder über die Lagrange-Interpolation zu lösen. Ich weiß aber trotzdem nicht, wie ich loslegen muss...

Gruß
Michael

07.06.2016, 21:52

Cugu

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Weisst du welches Gleichungssystem das Polynom loesen muss?
Weisst du welche Form das gesuchte Polynom in einer geeigneten Darstellung (z.B. Lagrange-Basis, Newton-Basis) haben muss?

07.06.2016, 22:10

Michael1204

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Also die Lösung die ich gegeben habe ist:

Da es sich bei den Stützstellen x=0 und x=1 um Nullstellen handelt, vereinfacht sich der Ansatz für das quadratische Interpolationspolynom sofort zu $\begin{eqnarray*} p(x)=a\cdot \left(x-0\right)\left(x-1\right) \end{eqnarray*}$ und die verbleibende Stützstelle x=-1 liefert die Bedingung $\begin{eqnarray*} p(-1)=N(-1)f(-1) = \cos(-1) \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{2} \cos(1) \end{eqnarray*}$ .
Das Interpolationspolynom ist also: $\begin{eqnarray*} p(x)=\frac{1}{2}\cos(1)\cdot x\left(x-1\right) \end{eqnarray*}$

Mehr kann ich dir dazu leider nicht sagen.

07.06.2016, 22:29

Cugu

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Ja, das duerfte doch passen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} p(x)=a\cdot \left(x-0\right)\left(x-1\right) \end{eqnarray*}$

Das ist die Lagrange Darstellung. In diesem Beispiel sind alle anderen Terme gleich null.
Was ist denn dann die Frage? Musst du das genauer ausfuehren oder verstehst du irgendeinen Schritt nicht?

07.06.2016, 22:39

Michael1204

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Naja das Problem ist das dies die Musterlösung ist auf die ich selbst kommen muss.

Ich verstehe den Schritt nicht wie man p(x) bestimmt. Außerdem weiß ich nicht wie mein Prof. auf die Formel $\begin{eqnarray*} p(-1)=N(-1)f(-1)=\cos(-1) \end{eqnarray*}$ kommt. Ach ja und wie hat er $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{2}\cos(1) \end{eqnarray*}$ bestimmt?

Also irgendwie fast alles! verwirrt

07.06.2016, 22:51

Cugu

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Zitat:

Ich verstehe den Schritt nicht wie man p(x) bestimmt.

Schreib doch mal allgemein die Lagrange Darstellung hin und uebelege dir wie sie sich vereinfacht, wenn Stuetzstellen gleich null sind.

Zitat:

Ach ja und wie hat er $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{2}\cos(1) \end{eqnarray*}$ bestimmt?

Ich sage dir lieber, wie du den Wert erhaelst. Du verwendest einfach die Lagrange Darstellung. Dazu musst du nur wissen, was der Wert an der Stuetzstelle $\begin{eqnarray*} x_1=-1 \end{eqnarray*}$ ist.

Ist dir eigentlich klar durch welche Punkte das Polynom gehen soll?

07.06.2016, 23:06

Michael1204

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Mit der Lagrange Darstellung meinst du bestimmt:

$\begin{eqnarray*} a0+a1\left(x-x0\right) +a2\left(x-x0\right)\left(x-x1\right) ... \end{eqnarray*}$

Ich würde sagen, dass das Polynom durch -1, 0 und 1 gehen muss.

07.06.2016, 23:11

Cugu

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Noe, das ist die Darstellung bzgl. der Newton-Basis. Aber die ist hier genauso gut.

Zitat:

Ich würde sagen, dass das Polynom durch -1, 0 und 1 gehen muss.

Das sind keine Punkte. Das sind nur die $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ Du brauchst drei Wertepaare $\begin{eqnarray*} (x_i,y_i) \end{eqnarray*}$ .

07.06.2016, 23:18

Michael1204

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Aso...

x0=-1 y0=1
x1=0 y1=0
x2=1 y2=0

Ok könntest du mir vollständigkeitshalber die Lagrange Darstellung verraten?

07.06.2016, 23:22

Cugu

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Die findest du z.B. hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation
Das erste Wertepaar stimmt nicht. Wie kommst du darauf?

Um es etwas abzukuerzen:
Es muss $\begin{eqnarray*} y_i=N(x_i)f(x_i) \end{eqnarray*}$ gelten fuer das Interpolationspolynom des Integranden.

Das ist die Rechnung fuer $\begin{eqnarray*} x_1=-1 \end{eqnarray*}$ dazu:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} p(-1)=N(-1)f(-1) = \cos(-1) \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du (falls bekannt) das Schema der dividierten Differenzen verwenden oder (wie im obigen Link) das Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} y_i=f(x_i) \end{eqnarray*}$ aufstellen und loesen.

08.06.2016, 10:04

Michael1204

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Guten Morgen,

ich glaube ich habe es jetzt verstanden. Ich erkläre es noch einmal mit meinen Worten um sicher zu gehen.

Das Interpolationspolynom 2 Grades hat den grundsätzlichen Aufbau von:

$\begin{eqnarray*} p(x)= a0+a1\left(x-xo\right)+a2\left(x-xo\right)\left(x-x1\right) \end{eqnarray*}$

Um die Koeffizienten a0, a1 und a2 zu bestimmen, muss ich jedoch zunächst die yi Werte der gegebenen xi Werte bestimmen. Dazu multipliziere ich die Formfunktion $\begin{eqnarray*} N(x)=\frac{x\left(x-1\right) }{2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$

Dabei setze ich die gegebenen x-Werte ein und erhalte
$\begin{eqnarray*} x0=-1 \Rightarrow y0=cos(-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x1=0\Rightarrow y1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x2=1\Rightarrow y2=0 \end{eqnarray*}$

Nun bestimme ich die Koeffizienten nach dem Schema der dividierten Differenzen:

$\begin{eqnarray*} a0 \Rightarrow f(x0)=\cos(-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a1 \Rightarrow f(x0,x1)=\frac{f(x1)-f(x0)}{x1-x0} \Rightarrow \frac{0-\cos(-1) }{0-(-1)}=\cos(1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x1,x2)=\frac{f(x2)-f(x1}{x2-x1}\Rightarrow 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a2 \Rightarrow f(x0,x1,x2)=\frac{f(x1,x2)-f(x0,x1)}{x2-x0} \Rightarrow \frac{0-\cos(1) }{1-(-1)}=\frac{1}{2} \cos(-1) \end{eqnarray*}$

Ist das soweit in Ordnung?

08.06.2016, 11:11

Michael1204

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Jetzt ist mir selbst ein Fehler aufgefallen.

$\begin{eqnarray*} a1=-\cos(-1) \end{eqnarray*}$
und dementsprechend muss sich dann aber auch a2 ändern, jedoch ist mir auch dort ein Vorzeichenfehler unterlaufen so das meine Antwort für a2 trotzdem stimmt!

08.06.2016, 14:16

Cugu

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Zitat:

Ist das soweit in Ordnung?

Sieht gut aus.

Bei deiner Anordnung $\begin{eqnarray*} x_0=-1, x_1=0, x_2=1 \end{eqnarray*}$ besteht die Newton-Basis aus $\begin{eqnarray*} 1, x+1, (x+1)x \end{eqnarray*}$ .
Wenn du nun auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cos(1)\cdot x\left(x-1\right) \end{eqnarray*}$ kommen willst, musst du die Terme noch zusammenfassen,
denn die Newton-Basis $\begin{eqnarray*} 1,x,x(x-1) \end{eqnarray*}$ gehoert zur Anordnung $\begin{eqnarray*} x_0=0, x_1=1, x_2=-1 \end{eqnarray*}$ .
Der hoechste Koeffizient $\begin{eqnarray*} a_2=\tfrac{1}{2}\cos(1) \end{eqnarray*}$ ist jedoch unabhaengig von der Wahl der Basis.

08.06.2016, 15:11

Michael1204

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Vielen Dank! Hat bei mir dann auch geklappt!

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