Elemente eines Koordinatenrings

08.06.2016, 12:40

Shalec

Elemente eines Koordinatenrings

Hallo allerseits,

ich möchte den Koordinatenring besser verstehen und auch eine Einschätzung über Elemente darin gewinnen. Ich gebe nun zunächst ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \mathbb R[x,y]/(y-x^2) \end{eqnarray*}$ (vom Übungszettel, Aufgabe ist es zu entscheiden, ob dieser faktoriell ist)

Nach dem Skript ist ein Koordinatenring einer affinen Varietät X so definiert, dass erst ein Ideal erzeugt wird, dass alle Polynome enthält, die auf X verschwinden:
$\begin{eqnarray*} I(X)=\{ f\in\mathbb R[x,y]\ :\ f(x)=0\ \forall x\in X\} \end{eqnarray*}$
Nun ist der Koordinatenring:
$\begin{eqnarray*} A(X)= \mathbb R[x,y]/I(X) \end{eqnarray*}$ mit der Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray*} f=g \Leftrightarrow f-g=0|_X \end{eqnarray*}$

Nun würde ich gerne diese Definition mit der Aufgabenstellung in Einklang bringen. X wird hier vermutlich die Menge aller $\begin{eqnarray*} (x,y)\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ sein, die auf $\begin{eqnarray*} y-x^2 \end{eqnarray*}$ verschwinden. D.h. alle Punkte, die der Gleichung $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ genügen. Damit beschreibt das Ideal $\begin{eqnarray*} (y-x^2) \end{eqnarray*}$ alle Polynome, die auf dieser Menge verschwinden. (Sehe ich das korrekt?)

Wie sehen nun die Elemente in diesem Koordinatenring aus? Sind das alle Polynome, die nicht auf X verschwinden?
Was sind die Einheiten und welche die irreduziblen Elemente?

Viele Grüße und vielen Dank für die Unterstützung.

08.06.2016, 20:00

Cugu

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Zitat:

Sehe ich das korrekt?

Das kling jedenfalls vernuenftig.

Zitat:

Wie sehen nun die Elemente in diesem Koordinatenring aus? Sind das alle Polynome, die nicht auf X verschwinden?

Nein, das ist einfach ein Quotientenring. Du machst keinen Unterschied mehr zwischen Polynomen $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ , fuer die $\begin{eqnarray*} p-q \in I(X) \end{eqnarray*}$ ist.
Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} y - x^2 \in I(X) \end{eqnarray*}$ und damit sind $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ in derselben Aequivalenzklasse.

Zitat:

Was sind die Einheiten und welche die irreduziblen Elemente?

Es sollte doch $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x,y] \to \mathbb{R}[x], \quad x\mapsto x,\quad y \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ ein surjektiver Ringhomorphismus sein mit $\begin{eqnarray*} I(X) \end{eqnarray*}$ als Kern.
Also muss man nur wissen, was Einheiten und irreduzible Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ sind.

08.06.2016, 20:52

Shalec

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Zitat:

Original von Cugu

Zitat:

Sehe ich das korrekt?

Das kling jedenfalls vernuenftig.

Zitat:

Wie sehen nun die Elemente in diesem Koordinatenring aus? Sind das alle Polynome, die nicht auf X verschwinden?

Zitat:

Was sind die Einheiten und welche die irreduziblen Elemente?

n

Ach, so einfach ist das...danke. Möglicherweise melde ich mich nochmal in diesem Thread.

09.06.2016, 16:48

Shalec

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Anderes Beispiel ist:
$\begin{eqnarray*} \mathbb R[x,y]/(x^2+y^2-1) \end{eqnarray*}$ dieser ist nicht faktoriell. Wohingegen $\begin{eqnarray*} \mathbb C[x,y]/(x^2+y^2-1) \end{eqnarray*}$ wieder faktoriell wird.

Woran liegt das? Liegt das daran, dass hier Polynome, wie $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=0 \end{eqnarray*}$ wieder eine Lösung besitzen und damit reduzibel sind?

Irgendwie scheine ich im Allgemeinen nicht zu wissen, welche Elemente in einem Koordinatenring enthalten sind.

In dieser PDF Google gefundene pdf steht in Beispiel 3,dass der koordinatenring über jeden algebraisch abgeschlossenen Körper nicht faktoriell ist. Stimmt das?

09.06.2016, 22:21

Cugu

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Irgendwie widerspricht sich das, was du schreibst. Ueber $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sei er nicht faktoriell, ueber $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ schon, aber ueber keinem algebraisch abgeschlossenen Koerper.
Das Polynom $\begin{eqnarray*} 1-x^2=[1-x][1+x] \end{eqnarray*}$ sollte ueber beiden Koerpern zerfallen.
Da aber auch noch $\begin{eqnarray*} y\cdot y= 1-x^2 +[x^2+y^2-1] \end{eqnarray*}$ gilt, gibt es in dem Koordinatenring egal ueber welchem der beiden Koerper zwei verschiedene Zerlegungen in irreduzible Faktoren.

Zitat:

Irgendwie scheine ich im Allgemeinen nicht zu wissen, welche Elemente in einem Koordinatenring enthalten sind.

Im Grunde ist das in dem Link ganz gut erklaert. Zunaechst sind alle Polynome aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{K}[x,y] \end{eqnarray*}$ enthalten, aber sie bilden Aequivalenzklassen.
Einen geeigneten Repraesentanten findet man, indem man $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 1-x^2 \end{eqnarray*}$ ersetzt. Damit erhaelt man genau die Polynome der Form $\begin{eqnarray*} p+yq \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p,q\in \mathbb{K}[x] \end{eqnarray*}$ .
Als Kalkuel ist das denke ich sehr hilfreich. Formal absichern kann man das dann wieder, indem man Isomorphie zeigt.
Es gibt im Allgemeinen natuerlich Beispiele bei denen es wesentich komplizierter ist. Aber im Grunde nutzt man immer die Gleichung aus um Terme durch andere zu ersetzen.

09.06.2016, 23:02

Shalec

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Hm.. ich habe nun eine Weile auch darüber nachgedacht und bei stackexchange einen Ansatz gefunden.

Ich bin gerade dabei die Isomorphie folgender Abbildung zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \varphi:\ \mathbb{C}[t,t^{-1}] \to A(X),\ t\mapsto (x+iy), t^{-1}\mapsto (x-iy) \end{eqnarray*}$ (laut stackexchange ist diese Abbildung isomorph)

Dann ist $\begin{eqnarray*} \mathbb C[t,t^{-1}]=\mathbb C[t]_t \end{eqnarray*}$ die Lokalisierung an einem faktoriellen Ring und damit selbst wieder faktoriell. Wegen der Isomorphie ist dann A(X) auch faktoriell.

Nun habe ich zwei widersprüchliche Aussagen. Aufgrund dessen habe ich bei der "Quelle" nachgefragt. Dort wurde mir mitgeteilt, dass y nicht irreduzibel ist. (Ich wollte die Frage mal speziell und gezielt stellen und dem Board hier nicht vorenthalten. Eine Lösung, insofern sie erstellbar ist, lässt sich dann posten.)

Da ich noch keinen Beweis für die Isomorphie gesehen habe und mir noch die Injektivität dieser Abbildung fehlt, bleibt es noch offen, ob es tatsächlich isomorph ist.

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