Ist gegebene Matrix selbstadjungiert ?

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Chaosrechner Auf diesen Beitrag antworten »
Ist gegebene Matrix selbstadjungiert ?
Der reelle Vektorraum R^3 sei mit dem Skalarprodukt
<x,y> = x^T y versehen.
Finden Sie alle a R, für die die Abbildung : R3-->R3 , v --> Av
mit A =
bzgl. des Skalarproduktes < -,-> selbstadjungiert ist.


Mein Ansatz :

selbstadjungiert bedeutet ja , dass ich A = A* zeigen muss und da es in A nur reele Teile gibt ist A* eigentlich nur A transponiert.

Ist dieser Ansatz richtig ?

falls ja wie zeige ich dann , dass die beiden Matrizen gleich sind ? ( bei meinen Versuchen zeige ich irgendwie immer das Gegenteil)


Etwas weitergehende Frage : gibt es einen eleganten Weg die Eigenvektoren von
zu bestimmen ?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Das Skalarprodukt lautet . Die symmetrische Matrix G bezeichnet man als Metrik. Eine Abbilddung A ist bezüglich dieses Skalarproduktes selbstadjungiert, wenn gilt . Es muss also gelten

_____________________(*)

Die linke Seite formen wir um wie folgt



Vergleich mit der rechten Seite der Formel (*) ergibt die Forderung



Die Matrix GA muss also symmetrisch sein. Setze also beide Matrizen G und A ein und untersuche, für welche Zahl a diese Forderung erfüllt ist.
-----------------------------------------------------------------------
Die Eigenwerte von A bestimmst du wie immer durch Lösung der allgebraischen Gleichung

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