Ist gegebene Matrix selbstadjungiert ? |
09.06.2016, 00:56 | Chaosrechner | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ist gegebene Matrix selbstadjungiert ? <x,y> = x^T y versehen. Finden Sie alle a R, für die die Abbildung : R3-->R3 , v --> Av mit A = bzgl. des Skalarproduktes < -,-> selbstadjungiert ist. Mein Ansatz : selbstadjungiert bedeutet ja , dass ich A = A* zeigen muss und da es in A nur reele Teile gibt ist A* eigentlich nur A transponiert. Ist dieser Ansatz richtig ? falls ja wie zeige ich dann , dass die beiden Matrizen gleich sind ? ( bei meinen Versuchen zeige ich irgendwie immer das Gegenteil) Etwas weitergehende Frage : gibt es einen eleganten Weg die Eigenvektoren von zu bestimmen ? |
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09.06.2016, 09:36 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das Skalarprodukt lautet . Die symmetrische Matrix G bezeichnet man als Metrik. Eine Abbilddung A ist bezüglich dieses Skalarproduktes selbstadjungiert, wenn gilt . Es muss also gelten _____________________(*) Die linke Seite formen wir um wie folgt Vergleich mit der rechten Seite der Formel (*) ergibt die Forderung Die Matrix GA muss also symmetrisch sein. Setze also beide Matrizen G und A ein und untersuche, für welche Zahl a diese Forderung erfüllt ist. ----------------------------------------------------------------------- Die Eigenwerte von A bestimmst du wie immer durch Lösung der allgebraischen Gleichung |
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