Potenzreihenentwicklung

09.06.2016, 08:54

Klausurvorbereitung

Potenzreihenentwicklung

Guten Morgen,
sitze an den Klausurvorbereitungen und komme bei einer Aufgabe nicht vorran, hoffe ihr könnt mir helfen:

Ich möchte die Potenzreihe der Fkt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z^2 - z^3} \end{eqnarray*}$ um a = 1 im Konvergenzgebiet $\begin{eqnarray*} |z-1| > 1 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Bei den vorherigen Aufgaben konnte ich die geometrische Reihe nutzen. Bei diesen Aufgaben wurde jedoch immer um den Nullpunkt und in einem Radius |z| < 1 entwickelt.

Hier fehlt mir nun leider komplett der Ansatz.

Freue mich über Tipps

09.06.2016, 09:12

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Klausurvorbereitung
Ich möchte die Potenzreihe der Fkt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z^2 - z^3} \end{eqnarray*}$ um a = 1 im Konvergenzgebiet $\begin{eqnarray*} |z-1| > 1 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

In diesem Gebiet gibt es keine konvergente Potenzreihe - allenfalls eine Laurentreihe.

09.06.2016, 10:04

Klausurvorbereitung

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke, das erklärt meine Fehlversuche. Werde mich dann mit der Laurentreihe auseinandersetzen.
Woran hast du das erkennen können?

09.06.2016, 16:24

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{align*} f(z) = \frac{1}{z^2(1-z)} \end{align*}$ hat zwei Singularitäten bei $\begin{align*} z=0 \end{align*}$ und $\begin{align*} z=1 \end{align*}$ . Die erste verhindert, dass eine Potenzreihenentwickung um $\begin{align*} z=1 \end{align*}$ einen Konvergenzradius >1 haben kann, die zweite, dass es überhaupt eine Potenzreihenentwickung um $\begin{align*} z=1 \end{align*}$ gibt (nicht mal Konvergenzradius 0).

Für $\begin{align*} |z-1|>1 \end{align*}$ indes ist die Funktion holomorph. Wenn wir also eine für $\begin{align*} |z|<1 \end{align*}$ holomorphe Funktion $\begin{align*} g(z) \end{align*}$ finden mit der Eigenschaft $\begin{align*} f(z) = g\left(\frac{1}{z-1}\right) \end{align*}$ , dann liefert die zugehörige Potenzreihenentwicklung von $\begin{align*} g \end{align*}$ im Nullpunkt nach Rücktransformation eine passende Laurentreihe für $\begin{align*} f \end{align*}$ im Punkt $\begin{align*} a=1 \end{align*}$ .

Los geht's: Mit $\begin{align*} w=\frac{1}{z-1} \end{align*}$ umgestellt $\begin{align*} z=\frac{1}{w}+1 \end{align*}$ betrachten wir

$\begin{align*} g(w) = f\left(\frac{1}{w}+1\right) = \frac{1}{\left(\frac{1}{w}+1\right)^2\left(1-\frac{1}{w}-1\right)} = -\frac{w^3}{(1+w)^2} \end{align*}$ .

Diese Funktion ist zweifelsohne holomorph für $\begin{align*} |w|<1 \end{align*}$ mit Potenzreihe $\begin{align*} g(w)=-w^3\sum_{k=0}^{\infty} (k+1)(-w)^k=-w^3\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k(k+1) w^k \end{align*}$ ...

Neue Frage »

Antworten »

Potenzreihenentwicklung

Verwandte Themen