Extremwertbestimmung

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Oggel Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertbestimmung
Hallo liebe Community smile

bei folgender Aufgabe habe ich ein Problem bzw. bin ich unsicher

erst einmal zu (1) :

Habe erstmal die partiellen Ableitungen gebildet:





Dann habe ich den Gradient:


Und der ist doch gleich 0, falls ist oder? Damit habe ich das weiter gerechnet und komme auf das Ergebnis, dass es kein Minimum und kein Maximum gibt, da die Hesse Matrix indefinit ist.
Kann das sein?

Danke schonmal für alle Antworten smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertbestimmung
Beide partiellen Ableitungen sind falsch (Minuszeichen vergessen).
Korrekt ist, daß bei x=y=0 ein kritischer Punkt ist. Was die weitere Rechnung angeht, kann ich nichts sagen. Da müßtest du mal zeigen, wie bei dir die Hesse-Matrix aussieht.
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Ups.. Stimmt natürlich:






Dann habe ich den Gradient:


Dann habe ich die 2. Ableitungen jeweils gebildet:








Daraus die Hesse Matrix:


Wenn ich jetzt hier für einsetze:


Wäre das soweit korrekt?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. smile
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich die Eigenwerte ausgerechnet und komme auf

und damit wäre die Matrix indefinit oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt. Freude
 
 
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut danke smile
Ich habe irgendwie ein Problem bei (2) die Nebenbedingung zu formulieren. Hast du einen Tipp?
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh hab nochmal bisschen nachgedacht. Wäre eine mögliche Nebenbedingung? Da die Seitenlängen ja alle 1 sind so wie ich das verstehe. und damit muss der Umfang, ja 4 sein oder?
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für meinen Doppelpost. Aber ich brauche hier echt nochmal Hilfe.
Ist damit gemeint, dass x und y aus dem Intervall [0,1] sein müssen?
Wäre eine mögliche Nebenbedingung ? Bin auf die Idee gekommen, nachdem ich das mal in Wolfram Alpha eingegeben habe.
Und die nächste Frage muss ich nur den Rand untersuchen?

Danke für eure Antworten, komme da echt nicht weiter irgendwie.
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Mal zur 2(a): Hier betrachtet man f auf der kompakten Menge . Hier sind tatsächlich x und y aus dem Intervall [0,1]. Auf einer kompakten Menge nimmt f Maximum und Minimum an. Für die Untersuchung innerer Punkte stützt man sich auf den Gradienten. Dann bleiben nur noch Randextrema übrig.
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Aber wie formuliere ich meine Nebenbedingung? Damit ich das mit dem Lagrange Multiplikator machen kann?
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warum willst du partout Lagrange bemühen? verwirrt
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Weil wir das Thema gerade haben. Daher dachte ich wir sollen das mit Lagrange machen Big Laugh geht das nicht damit?
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Warum einfach, wenn es auch umständlich geht? verwirrt
Wie gesagt musst du nur die Ränder betrachten. Und für jeden Teil des Randes lässt sich leicht eine Nebenbedingung formulieren.
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh das ist mein Problem, ich bekomme die Nebenbedingung nicht formuliert.
?
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Betrachten wir mal den unteren Rand des Quadrates. Welche Koordinaten haben die dort liegenden Punkte?
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

x ist in dem Intervall und ?
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Richtig und damit hast du die Nebenbedingung .
Das kannst du jetzt in die Form einer Funktion gießen und den Lagrangeformalismus anwerfen oder einfach in f einsetzen.
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das in f einsetze, dann habe ich als Funktion ja 1. Was müsste ich dann machen? Die Ableitung ist 0, das heißt dort gibt es kein Extremum an dem Rand?
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Das heißt nur, dass die Funktion am Rand konstant ist. Jetzt muss man sie mit Werten im Inneren vergleichen. Hier kann man sich überlegen, wie man f auf dem gegebenen Quadrat abschätzen kann.
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

also ich glaube ich fange einfach mal an, um zuerst das Innere zu prüfen.

Ich habe zuerst die beiden partiellen Ableitungen bestimmt:



Damit habe ich ja den Gradienten:

Jetzt habe ich geprüft, wann der Gradient 0 wird, und das müsste ja bei sein, da die e-Funktion nie 0 wird.

Dann habe ich die 2. Ableitung jeweils gebildet:








Dann habe ich die Hesse Matrix von (0,0) gebildet:


Und zuletzt habe ich die Definitheit der Matrix über die Eigenwerte geprüft und habe die Eigenwerte raus.

Damit ist die Hesse Matrix indefinit und die Funktion nimmt im Inneren kein Maximum und kein Minimum an. Wäre das bis hier soweit richtig?
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Das alles hast du doch am Anfang schon mal gemacht. Warum jetzt nochmal?
Und (0,0) ist kein innerer Punkt des Quadrates.

Ich würde so argumentieren: Für ist und man kann sich leicht überlegen, wo der Wert 0 bzw. 1 angenommen wird. Damit bekommt man f in den Griff, weil es monoton im Produkt xy ist.

Ich bin länger nicht erreichbar. Wenn jemand anders einsteigen möchte... Wink
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt natürlch Sorry Big Laugh Hatte schon wieder vergessen, dass die Aufgabe ja aus 2 Teilen besteht Big Laugh Hammer

Also 0 wird nicht angenommen und 1 bei oder?

Alles klar. Hoffe es findet sich jemand anders der mir helfen möchte smile
Oggel Auf diesen Beitrag antworten »

gibt es noch jemanden der Lust hat zu helfen? Gott
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