Orthogonale Projektion

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11.06.2016, 16:35	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Projektion Hallo liebe Community kurze Frage zu der Aufgabe. Muss ich hier einfach das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren anwenden, um die Vektoren zu berechnen, die orthogonal zueinander sind? Danke schonmal
12.06.2016, 12:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ , projiziere sie auf U (mit Schmidt), und schreibe die Bilder in die Spalten der Darstellungsmatrix von $\begin{eqnarray} p_U \end{eqnarray}$ . Vermutlich ist das gefragt.
12.06.2016, 14:56	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh ich weiß noch nicht genau wie ich anfangen soll. Soll ich auf U erst einmal Schmidt anwenden?
12.06.2016, 19:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das kann nicht schaden. Wie es weitergeht, findest Du z.B. hier unter dem Stichwort "Darstellung": https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalprojektion
13.06.2016, 13:05	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habs jetzt folgendermaßen gemacht: Erst habe ich das Schmidt Verfahren auf U angewendet: $\begin{eqnarray} v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_1 = \frac{v_1}{\|\|v_1\|\|} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ 0 \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_2' = v_2 - <v_2,w_1> w_1 = \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ 1 \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_2 = \frac{w_2'}{\|\|w_2'\|\|} = \frac{1}{\sqrt{2}} * \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ 1 \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann habe ich $\begin{eqnarray} P_U \end{eqnarray}$ berechnet, indem ich mir einen Vektor aus $\begin{eqnarray} \mathbb R ^4 \end{eqnarray}$ genommen habe: $\begin{eqnarray} x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und hier dann nochmal das Schmidt Verfahren angewandt: $\begin{eqnarray} P_U = <x,w_1>w_1 + <x,w_2> w_2 \end{eqnarray*}$ Dann bekomme ich am Ende eine Matrix raus. Erst einmal die Frage, bevor ich weiter poste, ob der Weg bis hier her richtig ist?
13.06.2016, 18:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig. Ich lasse $\begin{eqnarray} \frac 1 3 \end{eqnarray}$ vor den Vektoren stehen, dann habe ich nur ganze Zahlen in den Komponentenvektoren. Das ist leichter zu schreiben und zu lesen und macht eventuell weitere Rechnungen übersichtlicher.
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13.06.2016, 20:29	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar . Also weiter berechnet: $\begin{eqnarray} <\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix} , \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} > \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} + <\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}, \frac{1}{3\sqrt 2}\begin{pmatrix} -2 \\2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} > * \frac{1}{3\sqrt 2}\begin{pmatrix} -2 \\2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{3}(2x_1+x_2+0x_3+2x_4)\frac{1}{3} * \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\0 \\2\end{pmatrix} + \frac{1}{3\sqrt2} * (-2x_1+2x_2+3x_3+x_4) * \frac{1}{3\sqrt2} * \begin{pmatrix}-2\\2\\3\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} 4x_1+2x_2+0x_3+4x_4 \\ 2x_1+x_2+0x_3+2x_4 \\ 0x_1+0x_2+0x_3+0x_4 \\ 4x_1+2x_2+0x_3+4x_4 \end{pmatrix} + \frac{1}{18}\begin{pmatrix} 4x_1-4x_2-6x_3-2x_4 \\ -4x_1+4x_2+6x_3+2x_4 \\ -6x_1+6x_2+9x_3+3x_4 \\ -2x_1+2x_2+3x_3+x_4\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{9}(\begin{pmatrix} 4x_1+2x_2+0x_3+4x_4 \\ 2x_1+x_2+0x_3+2x_4 \\ 0x_1+0x_2+0x_3+0x_4 \\ 4x_1+2x_2+0x_3+4x_4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2x_1-2x_2-3x_3-x_4 \\ -2x_1+2x_2+3x_3+x_4 \\ -3x_1+3x_2 + \frac{9}{2}x_3+\frac{3}{2}x_4 \\ -x_1+x_2+\frac{3}{2}x_3+\frac{1}{2}x_4\end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} 6 & 0 & -3 & 3 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ -3 & 3 & \frac{9}{2} & \frac{3}{2} \\ 3 & 3 & \frac{3}{2} & \frac{9}{2}\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ So?
13.06.2016, 21:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Siehe nochmals meinen ersten Beitrag. Der erste Basisvektor der Standardbasis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Er wird von der Orthogonalprojektion auf U abgebildet auf $\begin{eqnarray} p_U=<e_1,w_1>w_1+<e_1,w_2>w_2=\frac 2 3 w_1-\frac 2 {3\sqrt 2}w_2=...=\frac 2 9 \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , und das ist die 1. Spalte der Darstellungsmatrix bezüglich der Standardbasis.
14.06.2016, 19:26	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme irgendwie auf ein anderes Ergebnis für: $\begin{eqnarray} <e_1,w_1>w_1+<e_1,w_2>w_2 = <\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} , \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} > \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} + <\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} , \frac{1}{3\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix} > * \frac{1}{3\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{2}{9} * \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} - \frac{1}{9}\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix} = \frac{1}{9} * (\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix} ) = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 3 \\ 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Habe ich einen Fehler? Hab das jetzt paar mal nachgerechnet?
14.06.2016, 22:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht, ich habe mich verrechnet. Tut mir leid.
15.06.2016, 18:40	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Problem. also weiter: $\begin{eqnarray} <e_2,w_1>w_1 + <e_2,w_2>w_2 = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \\ 3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <e_3,w_1>w_1 + <e_3,w_2>w_2 = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <e_4,w_1>w_1 + <e_4,w_2>w_2 = \frac{2}{9} \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} \\ \frac{3}{4} \\ \frac{9}{4}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber das sind ja genau die Spalten die ich vorher auch schon berechnet oder nicht? Was habe ich dann vorher falsch gemacht?
15.06.2016, 19:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vermutlich nichts ... ich hatte nur die Herleitung nicht verstanden ... und dann hatte ich mich auch noch verrechnet ... (mea culpa) . Jetzt weiß ich wieder genau, wie es geht, du weißt es auch, und am Ergebnis ist nicht mehr zu deuteln.
15.06.2016, 19:28	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh okay. Also könnte man das auch so machen, wie ich es am Anfang gemacht habe?
15.06.2016, 20:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das scheint richtig zu sein. Man muss es dann aber irgendwie erklären, und das geht über die Projektion einer Basis. Abbildung einer Basis ist immer das übliche Verfahren, um eine Darstellungsmatrix in dieser Basis zu bekommen.
15.06.2016, 20:17	Oggel	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar danke dir

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