Erwartungswert bei mehrmaliger Durchführung, Zielscheibe

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Laale Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert bei mehrmaliger Durchführung, Zielscheibe
Meine Frage:
Guten Morgen,

es geht darum: Gegeben ist eine Zielscheibe mit 3 gleichmäßigen Kreisen, r=1cm, 4cm, 6cm. Die Wahrscheinlichkeit, die Scheibe generell zu treffen, beträgt p=0,5. Innerer Kreis gibt 20 Punkte, mittlerer Kreis 10, äußerer 5.
a) Erwartungswert der Punktzahl bei einem Schuss
b) 5 gleich begabte Schützen schießen jeweils 10 mal auf die Scheibe. Alle erhaltenen Punkte werden insgesamt gemittelt. Gesucht: Erwartungswert und Varianz.

Ich bin auch nun schon für Anregungen dankbar.

Liebe Grüße

Meine Ideen:
a)Ich habe also erstmal alle Ringflächen ausgerechnet und dann mit Dreisatz weiter:
Gesamtfläche: 113,1 qcm --> p=0,5
innerer Kreis: 3,14 qcm ---> p=0,014
mittlerer Kreis 47,12 qcm -->p=0,208
äußerer Kreis 62,8 qcm ---> p= 0,278

Ist dieses Vorgehen soweit richtig?
E(x)= 0,014*20+0,208*10+0,278*5= 3,75

b) Hier hänge ich nun. Ein Schütze erreicht erwartungsgemäß beim 1. Schuss 3,75 Punkte. Bei 10 Schüssen also 10*3,75=37,5 Punkte. Oder ist der Gedanke schon falsch?
Da 5 schützen jeweils 10 mal schießen, ergibt sich für µ= 37,5 *5=187,5.
Aber irgendwie bin ich mir da total unsicher.
Erhaltene Punkte werden gesamt gemittelt. Also die 187,5/5? Aber das erscheint dann wieder sinnlos.
trxre Auf diesen Beitrag antworten »

Der Ansatz deiner a) stimmt. Ich glaub nur, dass du dich bei der Fläche für den äußeren Kreis leicht verrechnet/vertippt hast.

Bei der b) finde ich das mit dem Mitteln auch un-eindeutig formuliert.
Zitat:
Alle erhaltenen Punkte werden insgesamt gemittelt.

Wenn die meinen, dass sie den Durchschnitt aller 5*10=50 erschossenen Punkten suchen, wären wir wieder bei dem bereits errechnetem Erwartungswert von a) ... Das wäre auch ziemlich sinnlos.
Laale Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir. Beruhigt mich, dass dir das auch irgendwie sinnlos erscheint.
Warum verrechnet beim äußeren Ring? Gesamtkreis - Kreis mit r=4cm: pi*6*6-pi*4*4=62.8qcm.
Passt ja auch. Alle Ringe addiert müssen die gesamtfläche pi*6*6 ergeben.
trxre Auf diesen Beitrag antworten »

Ohhh ...
Bei mir kam vorhin irgendwie raus, dass die Summe halt nicht gepasst hat. Keine Ahnung wie das passiert ist. Muss mich wohl vertippt haben. Sry Hammer
Laale Auf diesen Beitrag antworten »

Kann passieren. Errare humanum est Augenzwinkern

Vielleicht hat jemand noch Ideen, Anregungen, Meinungen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis bei a) ist insgesamt Ok, allerdings hätte ich die Punktverteilung nicht mit gerundeten Dezimalbrüchen, sondern genau gerechnet:

.

Zu b) Ich verstehe b) jetzt so, dass die Schussergebnisse gemittelt werden, und für dieses mittlere Schussergebnis Erwartungswert und Varianz gesucht sind - oder?

Seien die so erzielten Punktzahlen, Mittelwert davon ist . Da die Punktzahlen gleich verteilt sind, gilt

.

Aus der Unabhängigkeit der Werte folgt zudem

.

Zitat:
Original von trxre
Das wäre auch ziemlich sinnlos.

Nicht für die Varianz, und darauf liegt wohl der Fokus des Aufgabenstellers. Augenzwinkern
 
 
Laale Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank! Freude smile

Also ist mein µ= (3,75*10*5)/50= 3,75 (also genau das gleiche wie bei einem Schuss).

Die Varianz ist bei einem Schuss ist Die Standardabweichung wäre dann die Wurzel daraus.
Für die 5 Schützen, die 10 mal schießen, ist n=50, also

Passt das nun so?
trxre Auf diesen Beitrag antworten »

In deiner Formel: [...] + (20-3,75)² *0,02 = [...]
Warum 0,02 und nicht 0,014 ... verwirrt

Du hast den Fall P(X=0) nicht beachtet in deiner Varianz. Der gehört auf jeden Fall in die Berechnung hinein.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von trxre
In deiner Formel: [...] + (20-3,75)² *0,02 = [...]
Warum 0,02 und nicht 0,014 ...

Frag ich mich auch. Angesichts dessen, dass bei 20 die bei weitem größte Differenz entsteht, und die auch noch im Quadrat da eingeht, ist eine derartige Nachlässigkeit signifikant im Ergebnis. unglücklich

Ich kann nur nochmal wiederholen: Rechne genau, und zwar mit Brüchen. Ich würde dazu im Fall der Varianz sowieso eher heranziehen.
Laale Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ich wusste, dass da was nicht passt, habs nur nicht gesehen. Sehr guter Hinweis von euch! smile Die 0,02 waren ein Fehler von mir. Hatte auf meinem Schmierzettel aus einer Rechnung noch 0,02, natürlich sind es die 0,014. Das macht die Varianz glücklicherweise kleiner. P(X=0) in der Varianz ist dann doch die obige Rechnung von mir mit zusätzlich (0-3,75)^2 * (1/2), oder?
Laale Auf diesen Beitrag antworten »

Habe nun das raus. Für p habe ich deine Brüche genutzt, E(X) aus 3,75 zu 15/4 gemacht und komme aufdieses Ergebnis:
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sieht gut aus. Freude
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