Homöomorphismus zwischen Einheitskugeln unterschiedlicher Dimension

Neue Frage »

S.A.W. Auf diesen Beitrag antworten »
Homöomorphismus zwischen Einheitskugeln unterschiedlicher Dimension
Hallo allerseits,

vermutlich handelt es sich um Grundladen in der Topologie.

Ich versuche derzeit einen Homöomorphismus zwischen Einheitskugeln unterschiedlicher Dimension
zu finden. Kann mir hier jemand Literatur empfehlen?


Hintergrund :
Ich habe an anderer Stelle Homöomorphismen zwischen abgeschlossenenen, konvexen, nichtleeren Mengen und Einheitskugeln gefunden. Dies ist eine Art "Verzerrung", die ausgehend von einem inneren Punkt, die Strecke zu einem beliebigen Randpunkt auf die Länge 1 überführt.

Im folgenden wurden jedoch Objekte, die in unterschiedlicher Dimension liegen ineinander überführt.
Dafür fehlt mir oben gesuchter Homöormorphismus zwischen Einheitskugeln verschiedener Dimension, um diesen Schritt wirklich verdauen zu können.

Klar ist mir :
ist Homöomorphismus,
ist Homöomorphismus.

Aussage des Buches :
ist Homöomorphismus, ist mir nicht ganz klar.

Müsste ich nicht noch einen Homöomorphismus
finden, so dass dann
der gesuchte Homöomorphismus
zwischen und ist?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt keinen Homöomorphismus zwischen Einheitskugeln verschiedener Dimension. Wenn eine der Dimensionen 1 ist, kann man das leicht zeigen, indem man einen Punkt entfernt. Dann ist die eine Kugel zusammenhängend, die andere nicht mehr, was nicht sein kann, wenn sie homöomorph wären. Ist eine Dimension 2 gibt es auch noch einen recht elementaren Beweis, der einfachen Zusammenhang nutzt. Für höhere Dimensionen kenne ich den Beweis nicht, das macht man mit algebraischer Topologie, es ist dort aber trotzdem richtig.
S.A.W. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Guppi,

vielen Dank für dein Beispiel.

Also kann ich hier davon ausgehen, dass es sich in meiner Lektüre um einen Fehler handelt.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu kann ich nichts sagen, weil mir der Zusammenhang im Buch nicht bekannt ist. Ich bin auch topologisch abgesehen von den Grundlagen, die man überall braucht, nicht sehr bewandert.

Vielleicht kann dir da jemand anderes noch weiterhelfen.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Damit die Komposition überhaupt sinnvoll ist, muss sein.
Ich vermute jetzt mal, ist die Einheitskugel im . Wenn gilt, kann man in einbetten. Das sollte einen Homöomorphismus liefern.
S.A.W. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo URL,

danke für die Ergänzung. Natürlich muss zunächst einmal sein.

Dein Homöormorphismus bildet allerdings nur auf eine Teilmenge des ab. In der mir vorliegenden Lektüre allerdings nicht.
 
 
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »