3 Punkte in die Ebenenform bringen:

12.06.2016, 16:05	MatheMKSP	Auf diesen Beitrag antworten »
3 Punkte in die Ebenenform bringen: Meine Frage: Hallo, ich soll die Ebebenengleichung folgender Punkte bestimmen: P1(1,2,3) P2(-1,0,1) P(0,0,1) Meine Ideen: Mein Ansatz: 1. Parameterform der Punkte: r(P)= r1+ p(P1P2) + q(P1P3) r(p,q)= r1+ p(r2-r1) + q(r3-r1) $\begin{eqnarray} r(p,q)= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -1 & -1\\ 0 & -2 \\ 1& -3 \end{pmatrix} +q \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & -2 \\ 1& -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r= (p,q) \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -2\\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} +q \begin{pmatrix} -1 \\ -2\\ -2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 2. Normalform n[x-p] (1/wurzel betrag n) (n=ABXAC] $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \left[ \begin{pmatrix} x1 \\ x2\\ x3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right] = -2x_2 +2x_3 + 2 \sqrt{\|\vec{n}\|} \end{eqnarray}$ ------------ Das wäre mein Lösungsweg (der leider Falsch ist) Die richtige Lösung: $\begin{eqnarray} r= (p,q) \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\1 \end{pmatrix} +q \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die Normalform: $\begin{eqnarray} (1/\sqrt{2}) \begin{pmatrix} 0 \\-1\\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix} -(1/\sqrt{2})=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = -y+z= 1 \end{eqnarray}$ Kann mir jemand sagen was ich falsch gemacht habe? Vielen dank im Voraus EDIT(Helferlein): Latex korrigiert. Die Befehle müssen zwischen $\begin{eqnarray} \color{blue}\lbrack latex \rbrack und \lbrack/latex]\color{black} \end{eqnarray}$ stehen. Am einfachsten geht das, indem Du die Formel markierst und oberhalb des Eingabefeldes den f(x)-Button drückst.
13.06.2016, 03:02	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die von dir ermittelte Parameterform ist nicht falsch. Was du noch zusätzlich machen kannst/sollst, ist, die Richtungsvektoren abzukürzen. Also den ersten durch -2 und den zweiten durch -1 zu dividieren. Ebenso kann man Brüche in den Richtungsvektoren durch Multiplikation mit dem Nenner zu ganzzahligen Komponenten machen. Die Divisoren/Multiplikatoren kann man sich dann in die Parameter p, q eingearbeitet denken (die Parameter sind frei wählbar) Bei der Normalvektorform muss der Normalvektor NICHT normiert werden, das ist nur bei der HNF (Hesse'sche Normalform) erforderlich. Somit kann hier der Wurzelterm wegfallen. Dabei hast du jedoch noch ZWEI Fehler gemacht, erstens NICHT die gesamte Gleichung durch den Betrag des Normalvektors zu dividieren und zweitens fehlt die rechte Seite = 0, ansonsten ist dies unvollständig bzw. KEINE Gleichung (!). Rechne also einfacher $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \left[ \begin{pmatrix} x1 \\ x2\\ x3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right] = 0 \ \to \ - x_2 + x_3 - 1 = 0 \end{eqnarray}$ Dabei wurde (drittens) auch der Normalvektor abgekürzt, indem er durch 2 dividiert wurde. () Hinweis: Das Kürzen und Erweitern von Vektoren ist bei Orts-(Punkt-)vektoren natürlich nicht erlaubt, denn dabei würde sich deren Konstellationen (d.h. die Punkte) ändern. mY+

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