Zeige Eindeutigkeit Skalarprodukt

12.06.2016, 20:26	madsen1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige Eindeutigkeit Skalarprodukt Hallo, ich habe folgende Aufgabe: sei V ein endlichdimensionaler $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ Vektorraum mit Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \alpha (.,.) \end{eqnarray}$ . Man setze $\begin{eqnarray} \|\|v\|\|_{\alpha} = \alpha (v,v)^{1/2} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ eindeutig, durch $\begin{eqnarray} \|\|v\|\|_{\alpha} \end{eqnarray}$ bestimmt ist. Hier weis ich garnicht wie ich da vorgehen soll. Mir ist klar, dass ich ein zweites Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ finden muss und dann zeige, dass aus $\begin{eqnarray} \|\|v\|\|_{\alpha} =\|\|v\|\|_{\beta} \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \alpha = \beta \end{eqnarray}$ . Aber wie gehe ich da genau vor? Ich hoffe, ich finde hier die ein oder andere Anregung. Viele Grüße Madsen
12.06.2016, 20:44	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeige Eindeutigkeit Skalarprodukt Vorweg eine evtl. etwas andere Interpretation der Aufgabe: Das Skalarprodukt ist eine Funktion von zwei Veränderlichen $\begin{eqnarray} \alpha(v,w) \end{eqnarray}$ . Jetzt beschränkt man sich künstlich auf den Fall v=w und bekommt damit eine Funktion einer Veränderlichen, nämlich $\begin{eqnarray} \alpha(v,v)=\\|v\\|_\alpha ^2 \end{eqnarray}$ . In der Aufgabe geht es darum zu zeigen, dass die Funktion einer Variablen, also im Wesentlichen $\begin{eqnarray} \\|v\\|_\alpha \end{eqnarray}$ schon ausreicht, um damit die Funktion zweier Variablen $\begin{eqnarray} \alpha(v,w) \end{eqnarray}$ zu rekonstruieren. Man muss also irgendwie Norm(en) und Skalarprodukte in einer Gleichung zusammen bringen. Dabei hilft die Betrachtung von $\begin{eqnarray} \alpha(u+w,u+w) \end{eqnarray}$
12.06.2016, 21:25	madsen1990	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeige Eindeutigkeit Skalarprodukt Hallo URL, vielen Dank für deine Nachricht. Ich habe mal ein wenig mit deiner Hilfestellung gerechnet und komme bis zum folgenden Punkt. $\begin{eqnarray} <br /> \alpha (v+w,v+w)=\|\|v+w\|\|_{\alpha}^2 = ((v1+w1)^2+...+(vn+wn)^2) = ((v1^2 + 2v1w1 + w1^2)+...+(vn^2 + 2vnwn + wn^2)) = \|\|v\|\|_{\alpha}^2 + \|\|w\|\|_{\alpha}^2 +2 vw.<br /> \end{eqnarray*}$ Ich hoffe bis hierhin habe ich mich nicht verrechnet. Ich kann aber noch nicht erkennen, wie die Eindeutigkeit folgt.
12.06.2016, 22:21	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeige Eindeutigkeit Skalarprodukt Das zweite Gleichheitszeichen gilt doch nur, wenn du das Standardskalarprodukt hast. Das ist hier aber nicht der Fall. Bleib lieber bei $\begin{eqnarray} \alpha(u+w,u+w) \end{eqnarray}$ und benutze Eigenschaften, die für jedes Skalarprodukt gelten.
12.06.2016, 23:43	madsen1990	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeige Eindeutigkeit Skalarprodukt Mhh, ich habe mal meine Aufzeichnungen durchgeschaut, und es gilt ja allgemein, dass $\begin{eqnarray} \alpha (v+w,z) = \alpha (v,z) + \alpha (w,z) \end{eqnarray}$ . Daraus müsste doch folgen $\begin{eqnarray} \alpha (v+w,v+w) = \alpha (v,v) + \alpha (w,w) = \|\|v\|\|_{\alpha}^2+ \|\|w\|\|_{\alpha}^2 \end{eqnarray}$ . Ist dass korrekt soweit?
12.06.2016, 23:45	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeige Eindeutigkeit Skalarprodukt Nein, da fehlen die beiden gemischten Terme
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12.06.2016, 23:55	madsen1990	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeige Eindeutigkeit Skalarprodukt Muss ich dass ganze Auflösen wie eine bionomische Formel? So wäre es dann ja $\begin{eqnarray} \alpha (v+w,v+w) = \alpha (v,v) + 2 \alpha (v,w) + \alpha (w,w) \end{eqnarray}$
13.06.2016, 00:06	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeige Eindeutigkeit Skalarprodukt Du sollst nicht raten sondern Eigenschaften des Skalarproduktes nutzen. Was du aufgeschrieben hast, gilt für ein symmetrisches Skalarprodukt, also einen euklidischen Vektorraum. In einem unitären Vektorraum hat man es aber mit einer hermiteschen Form zu tun.

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