Markov Kette durchschnittliche Spiellänge

13.06.2016, 23:23	Lukas Bonny	Auf diesen Beitrag antworten »
Markov Kette durchschnittliche Spiellänge Meine Frage: Hi, die Aufgabe ist folgende: Jemand hat einen Euro, braucht aber drei. Er spielt ein Glücksspiel und wirft eine Münze. Bei Zahl gewinnt er einen Euro, bei Wappen verliert er einen. Er hört auf, wenn er Drei Euro hat. Nun soll ich die durchschnittliche Länge eines Spieles herausfinden. Also wie lange die Person braucht um einen der Absorbtionszuständen 0? oder 3? zu erreichen. Ich habe bereits mit hilfe der 1. Mittelwertsregel die Absorbtionswahrscheinlichkeiten berechnet, welche 2/3 für 0?, und 1/3 für 3? betragen, leider habe ich keine Idee, wie ich auf die durchschnittliche Länge eines Spiels kommen soll. Meine Ideen: Meine Idee war, dass man die Aufgabe irgendwie mit dem Erwartungswert lösen muss, jedoch bin ich mir nicht sicher ob und wie das bei einer Markov kette funktioniert. Über jede Hilfe bin ich dankbar.
14.06.2016, 11:59	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Markov Kette durchschnittliche Spiellänge Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ die Dauer eines Spiels. Dann ist die durchschnittliche Spieldauer der Erwartungswert von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} E(X)=\sum\limits_{n=1}^\infty nP(X=n)=\sum\limits_{n=1}^\infty np(n) \end{eqnarray}$ Wenn das Spiel nach n Runden noch nicht zu Ende ist, hat der Spieler 1 oder 2 Euro. In beiden Fällen ist das Spiel mit Wahrscheinlichkeit 1/2 nach der nächsten Runde zu Ende. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel in der nächsten Runde endet, ist also 1/2 mal der Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel nicht in einer der vorherigen Runden endete: $\begin{eqnarray} p(n+1)=\frac {1}{2}(1-\sum\limits_{i=1}^n p(i)) \end{eqnarray}$ Berechne mit $\begin{eqnarray} p(1)=1/2 \end{eqnarray}$ die ersten Werte für $\begin{eqnarray} p(n) \end{eqnarray}$ . Dann sollte das Schema klar sein und du kannst es mit vollständiger Induktion beweisen und anschließend den Erwartungswert berechnen.
14.06.2016, 17:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Markov Kette durchschnittliche Spiellänge Elegant, diese Symmetrie der Zustände 1 und 2 Euro zu nutzen, um diese quasi zu verbinden. Das erleichtert die Betrachtungen beträchtlich. Eine kleine Variation, was die Berechnung des Erwartungswerts betrifft: Für Zufallsgrößen, die nur natürliche Zahlen annehmen, kann man auch die Erwartungswertformel $\begin{align} E(X) = \sum_{n=1}^{\infty} P(X\geq n) \end{align}$ nutzen. Und für $\begin{align} q(n)=P(X\geq n) \end{align}$ besitzt die Iterationsformel zudem einfachere Gestalt als die von $\begin{align} p(n) \end{align}$ .

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