Extremwertaufgabe maximaler Flächeninhalt gleichschenkliges Dreieck

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TheLastOfUs Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe maximaler Flächeninhalt gleichschenkliges Dreieck
Meine Frage:
HalliHallo Wink
Ich sitze momentan an folgender Aufgabe:
Welches gleichSchenkungen Dreieck hat bei gegebenem Umfang U die größte Fläche?

Meine Ideen:
Ich hatte als Hauptfunktion

Und dann als Nebenfunktion
.
Wenn ich aber jetzt meine Nebenfunktion nach B umstelle, bekomme ich
.
Das eingesetzt, ergibt

Ich habe aber irgendwie das Gefühl,dass das aber nicht die Funktion sein kann, die ich ableiten soll, oder? Übersehe ich etwas? smile
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe maximaler Flächeninhalt gleichschenkliges Dreieck
Du kannst h auch durch c ausdrücken:
https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichsche...kligen_Dreiecks

Viele Grüße
Steffen
TheLastOfUs Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort! smile Wie kommt denn diese Beziehung zustande? unglücklich Gibt es da irgendwo eine Erklärung zu? Welche trigonometrische Beziehung wurde dazu denn genutzt?
TheLastOfUs Auf diesen Beitrag antworten »

Ah... wurde vielleicht die Formel des Radius des Umkreises benutzt?
TheLastOfUs Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, alles quatsch, was ich erzähle. Meintest du vielleicht ? Aber wie entsteht diese Formel? unglücklich
TheLastOfUs Auf diesen Beitrag antworten »

Ich führe hier schon Selbstgespräche, aber ich glaube, ich habe es herausbekommen. Ich wende einfach den Satz des Pythagoras an. Ich habe ja praktisch und das stelle ich nun nach h um, also:
.
smile
 
 
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Bingo. smile
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Gut aber wie jetzt weiter?
Dann hat man diese Wurzel da in der Formel.
Man könnte quadrieren und A^2 maximieren, aber das führt zu großen Potenzen.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Aber nein.

In diesem Dreieck ist doch a=b, und für b hast Du ja schon einen Ausdruck.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte seine Formel von oben:



Wenn man da jetzt für h die Wurzel einsetzt ...
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

...und noch berücksichtigt...
TheLastOfUs Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt stecke ich doch schon wieder fest. Hammer
Meine Zielfunktion ist also
.
Meine Hilfsfunktion ist
.
Stelle ich nach c um, bekomme ich .
Wenn ich das nun einsetze in meine Formel, bekomme ich
.
Das vereinfacht, ergibt

Und das muss ich nun nach c ableiten, oder nicht? unglücklich Denn der Flächeninhalt soll ja eigentlich maximal werden?
Wenn ich das mache
. Und daraus kann ich doch nicht ohne Weiteres Nullstellen bestimmen, oder? unglücklich
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Zielfunktion ist
.
TheLastOfUs Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bin ich verwirrt. Meine Funktion ist doch . Wie habe ich denn dann meinen Umfang umgestellt und eingesetzt? Hammer
TheLastOfUs Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ich verstehe, nachdem ich bereits eingesetzt habe, ersetze ich h durch meinen Term...
Okay, ich versuche mich mal an der Ableitung nach c.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Gleichung ist auch korrekt, sehe ich gerade.

Die Nullstellen des letzten Terms sind schnell erledigt, Du musst ja nur den Zähler nullsetzen
TheLastOfUs Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also leite ich ab zuerst einmal über dieQuotientenregel:
, dann die gesamte Funktion über die Produkt- und Kettenregel


Aber dann habe ich auch wieder eine Wurzel im Nenner? Hammer
TheLastOfUs Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich rechne dann wenn ich dann sage und bringe meine Funktion 2. Grades in die Normalform:
.
Über die p,q-Formel komme ich dann zu
.
Also bekommen wir .
Also wird meine Flächeninhalt für maximal?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Genau! Das gleichseitige Dreieck hat ja auch die maximale Fläche.

Viele Grüße
Steffen

PS: die pq-Formel hättest Du Dir erspart, wenn Du vorher durch c geteilt hättest...
TheLastOfUs Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank für die gute und geduldige Hilfe! smile Gott
Hättest du vielleicht noch kurz die 5 Minuten Zeit, um mir zu zeigen, wie bei dir die Ableitung von
aussehen würde, um dann den maximalen Umfang bestimmen zu können? smile
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist einfach Produkt- und Kettenregel. U und a sind ja Konstanten.

Wenn Du's nachprüfen willst, nimm unseren hauseigenen Differenzierer.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Es ginge noch einfacher:

Ausgehend von:



quadriert man:



Die 16 lässt man weg, da unwichtig und leitet ab:





Daraus folgt dann auch .
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der letzte Beitrag zeigt es:
Man hätte sich viel Arbeit ersparen können, wenn die Ansatzfunktion vorher vereinfacht worden wäre.

Es gilt also für die Vereinfachung der Ansatzfunktion:

- Man kann POSITIVE (!) konstante Faktoren* weglassen, soferne sie die Ansatzfunktion GLOBAL betreffen (ein negatives Vorzeichen bleibt erhalten).
- Die Stelle des Extremwertes ändert sich nicht, wenn anstatt der Ansatzfunktion deren QUADRAT betrachtet wird.
Dies ist bei Wurzelfunktionen hilfreich. Man verzichtet dabei auf Extremwerte, bei denen die Funktion Null wird**
- An Stelle der Ansatzfunktion kann auch deren Kehrwert abgeleitet werden, wenn danach das entgegengesetzte Extremum aufgesucht wird.

(*) Eine Vorzeichenänderung ändert auch die Art des Extremwertes
(**) Bei der Ableitung der Wurzelfunktion kommt diese in den Nenner eines Bruches

Die damit und aus der Nebenbedingung errechneten Extremwerte sind natürlich wieder in die ursprüngliche Funktion einzusetzen.

mY+
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