2-Sphäre zwischen zwei Tangentialebenen Atlas

14.06.2016, 22:19	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
2-Sphäre zwischen zwei Tangentialebenen Atlas Meine Frage: Hallo, mir liegt folgendes Problem vor: Die Ebenen $\begin{eqnarray} T_{(1)} = \{(x,y,1)\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T_{(2)} = \{(x,y,-1)\} \end{eqnarray}$ seien die Tangentialebenen der 2-Sphäre $\begin{eqnarray} S^2 = \{(x,y,z): x^2 + y^2 + z^2 = 1 \} \end{eqnarray}$ im Nordpol N = (0,0,1) sowie im Südpol S = (0,0, -1). Jedem Punkt $\begin{eqnarray} P \in U_{(1)} = S^2 \setminus \{S \} \end{eqnarray}$ ordnet man die komplexe Zahl $\begin{eqnarray} z_{(1)} = (x_{(1)} + i y_{(1)})/2 \end{eqnarray}$ zu, wobei $\begin{eqnarray} x_{(1)}, y_{(1)} \end{eqnarray}$ die Kooordinaten des Schnittpunktes der Geraden $\begin{eqnarray} \bar{SP} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} T_{(1)} \end{eqnarray}$ sind. Analog legt man für jeden Punkt $\begin{eqnarray} P \in U_{(2)} = S^2 \setminus \{N \} \end{eqnarray}$ die komplexe Zahl $\begin{eqnarray} z_{(2)} = (x_{(2)} - i y_{(2)})/2 \end{eqnarray}$ fest, wobei $\begin{eqnarray} x_{(2)}, y_{(2)} \end{eqnarray}$ die Kooordinaten des Schnittpunktes der Geraden $\begin{eqnarray} \bar{NP} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} T_{(2)} \end{eqnarray}$ sind. Es soll gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray} \{ (U_{(1)}, z_{(1)}) , (U_{(2)}, z_{(2)}) \} \end{eqnarray}$ einen holomorphen Atlas für die S^2 bilden mit der Übergangsfunktion $\begin{eqnarray} z_{(2)} = \frac{1}{z_{(1)}} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich habe die Definition für einen holomorphen Atlas nachgeschlagen: Ein holomorpher Atlas auf einer topologischen Fläche ist eine Sammlung offener Mengen $\begin{eqnarray} U_{\alpha} \end{eqnarray}$ (Koordinatentafeln), die die Fläche überdecken, zusammen mit einer homöomorphen Abbildung $\begin{eqnarray} h_{\alpha} : U_{\alpha} \rightarrow \Delta \end{eqnarray}$ auf den Einheitskreis in $\begin{eqnarray} \mathbf{C} \end{eqnarray}$ mit den folgenden Eigenschaften: Für alle $\begin{eqnarray} \alpha, \beta \end{eqnarray}$ sind die Übergangsfunktionen $\begin{eqnarray} h_{\alpha} \circ h_{\beta}^{-1} : h_{\beta}(U_{\alpha} \cap U_{\beta}) \rightarrow h_{\alpha}(U_{\alpha} \cap U_{\beta}) \end{eqnarray}$ holomorph zwischen offenen Mengen des EInhetiskreis in C sein. Falls irgendetwas an dieser Definition falsch formuliert wurde, dann liegt es darin begründet, dass diese Definition übersetzt wurde. Aber wie lautet die Inverse von $\begin{eqnarray} h_{\beta}^{-1} \end{eqnarray}$ eigentlich im Aufgabenzusammenhang? z_(2) ist laut Aufgabenstellung invers zu z_(1), aber soll ich diese Aussage denn nicht zeigen?? Mich verwirrt die Aufgabenstellung ein wenig. Ich hoffe, ihr könnt mir bei diesem Malheur behilflich sein! Viele Grüße Widderchen
05.07.2016, 13:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist die stereographische Projektion und ihre Umkehrung. Alles Wissenswerte dazu findest Du auf den ersten Seiten des Buches "Riemannsche Flächen" von Klaus Lamotke, Springer Verlag (genauer: auf den Seiten 4 und 5). Insgesamt ein sehr empfehlenswertes Buch.
05.07.2016, 13:19	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen Dank, Elvis! Grüße Widderchen

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