Reduzibilität von f(x)=x^4 - 16x^2 + 4 über alle Körper Z_p

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steph88 Auf diesen Beitrag antworten »
Reduzibilität von f(x)=x^4 - 16x^2 + 4 über alle Körper Z_p
Bei einer Aufgabe zu dem Polynom konnte ich bereits zeigen, dass:

a) f(x) über irreduzibel ist.
b) f(x) über und reduzibel ist.
d) f(x) die Wurzeln hat


Jedoch steh ich bei folgender Teilaufgabe auf dem Schlauch:
c) f(x) ist über jedem Körper reduzibel.


Ich kann zwar für einzelne Primzahlen p zeigen, dass das Polynom über den zugehörigen Körper reduzibel ist. Aber das bringt mir nichts, nachdem ich es ja für alle Primzahlen zeigen soll.

Ich vermute, dass man in der Beweisführung wieder zwischen ungeraden und geraden Primzahlen trennen muss. D.h. für p=2 einfach nachrechnet, dass es reduzibel ist und für alle anderen (dann eben ungeraden) Primzahlen allgemein zeigt, dass es dort auch über reduzibel ist. Aber wie stell ich das an?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Nullstellen von sind Lehrer

Wenn nun modulo ein Quadrat ist für alle , also , dann kannst Du eine binomische Formel auf anwenden und hast damit zerlegt. Ob modulo ein Quadrat ist, erfährst Du in der Theorie der quadratischen Reste.

Nachtrag: Das scheint mir nicht so zu sein. "Vielleicht" funktioniert alles viel besser, wenn Du denselben Ansatz für das Polynom aus dem Titel versuchst. smile
steph88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhh mit fällt gerade auf, dass ich im Betreff das Polynom zwar richtig stehen habe, in meinem ersten Eintrag mich jedoch vertippt hab. f(x) ist entgegen dem ersten Eintrag von folgender Gestalt:

Aber ich Denke, dass Prinzipielle vorgehen bleibt ja gleich.

Besitzt die Nullstellen für die man nachrechnen kann, dass gilt:


Dh. ich muss nachrechnen dass ein Quadrat ist fü r alle , also . usw.

Danke für den Tipp!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne. Wenn du damit fertig bist, musst du noch die Zerlegung f(x) mod p angeben.
steph88 Auf diesen Beitrag antworten »
Legendre-Symbole (3/p) (5/p)
Bin nun leider doch noch mal auf den letzten Metern stecken geblieben. Aktueller stand:

ist reduzibel in ist Quadratzahl in .
D.h. wenn existiert, so dass .

Ob quadratzahl zu beliebigen ist, ermittle ich mit Hilfe des Legendre Symbols und der Theorie quadratischer Reste.

Hiervon getrennt betrachten muss ich jedoch die Primzahlen , da sie Teiler von sind, und somit das Legendresymbol für ist und keine Aussage möglich ist.

reduzibel in , konnte ich einfach durch nachrechnen zeigen.

Bleibt noch zu zeigen, dass für ebenfalls reduzibel in . Hier nun eben über den quadratischen Rest und das Legendresymbol.



Nun komm ich nicht mehr weiter. Auch nicht mit dem Wissen, dass gilt:

für
bzw. für
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht kommen noch ein paar Meter mehr ... zunächst ist klar, dass es nur um 3 und 5 geht, weil die 2 in 60 2 mal als Faktor enthalten ist. Für die ersten 5 Primzahlen sieht man sofort 15=1(2), 15=0(3), 15=0(5), 15=1(7), 15=4(11) ist ein Quadrat.
Gauß "theorema aureum", das quadratische Reziprozitätsgesetz, liefert mir dann,
- dass 3 ein quadratischer Rest mod 13 und 5 ein quadratischer Nichtrest mod 13, also 15 quadratischer Nichtrest mod 13 ist
- dass 3 ein quadratischer Nichtrest mod 17 und 5 ein quadratischer Nichtrest mod 17, also 15 quadratischer Rest mod 17 ist

Man könnte nun so weiter machen und die Gesetzmäßgkeiten für 15 aus den Gesetzmäßigkeiten für 3 und 5 ableiten. Nun bin ich mir aber nicht mehr sicher, ob das zum Ziel führt, da schon bei p=13 die konstante 60 in f(x) ein Nichtquadrat ist.

Ich denke daher über den folgenden Ansatz nach. 60 ist quadratischer Rest oder Nichtrest mod p.
Fall 1: 60 ist quadr. Rest mod p, dann zerfällt f(x) mod p in 2 quadratische Polynome.
Fall 2: 60 ist quadr. Nichtrest mod p, was dann ? Offene Fragen: Kann man dann einen linearen Faktor abspalten ? Gleichbedeutend: Findet man eine Nullstelle mod p ?

Ich weiß noch nicht wie das weitergeht, wir sollten dranbleiben und uns gegenseitig über Fortschritte und Ideen informieren.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nullstellen mod p für p<100 finde ich nur für p=2,11,59,71 . Das klappt also nicht immer.
Wie zerfällt ? Kann man daraus etwas lernen ?

Nachtrag: Du hast übrigens immer noch nicht auf die Frage geantwortet, wie f(x) im Fall 1 zerfällt, wenn also 60 quadratischer Rest mod p ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Auf sehr mühsame Art - per Koeffizientenvergleich - habe ich berechnet, dass es genau eine Zerlegung von f(x) mod 13 in 2 quadratische Faktoren gibt, nämlich .
Die Rechnung war so mühsam und speziell, dass ich daraus nichts über die Zerlegung modulo anderer Primzahlen lernen kann.

Jetzt musst Du bitte auch mal einen Beitrag liefern, sonst gebe ich auf ...
steph88 Auf diesen Beitrag antworten »

War heute den Tag durchgehend unterwegs, deswegen kann ich mich erst gerade eben wieder mit der Aufgabe auseinandersetzen Augenzwinkern

Zitat:
Original von Elvis
Nachtrag: Du hast übrigens immer noch nicht auf die Frage geantwortet, wie f(x) im Fall 1 zerfällt, wenn also 60 quadratischer Rest mod p ist.


Ich hätte es nicht konkret ausgerechnet sondern mit der oben von dir angedeuteten Lösung nur allgemein gesagt. Es aber bisher noch nicht ausformuliert, da ich eben erst zeigen wollte, dass 60 für alle p Prim quadratischer Rest ist (oder eben auch nicht) und dann weiter schaun wie ich es konkret aufschreibe.

Für den Fall 60 ist quadratischer rest für , dann gilt: . Dann kann ich schreiben:




Wie dieses a genau aussieht kann mir ja egal sein, solang seine Existenz gesichert ist und damit f(x) mit der Binomischen Formel in zwei Polynome zerfällt.

Den Rest zum Lagrange-Symbol muss ich mir jetzt erst nochmal in Ruhe durchlesen, was du geschrieben hast und selber weiter knobeln. Danke für deine Unterstützung bis hier hin smile
steph88 Auf diesen Beitrag antworten »
Primzahlen bis 200 für die 60 quadratischer Rest ist
Hm... ich komm irgendwie auch nicht wirklich weiter. Hab mir deswegen mal angeschaut, für welche Primzahlen bis 200 60 denn überhaupt n Quadratischer Rest ist, in der Hoffnung dadurch was zu erkennen genutzt habe ich hierfür

Zitat:

für
bzw. für bzw.



Und für
bzw. für bzw.

60 ist quadratischer Rest wenn . Ich habe berechnet:

für

für

60 Ist kein quadratischer Rest für folgende Prim:

für

Leider sehe ich auch hier keine Systematik dahinter, sodass ich keine allgemeine Gesetzmäßigkeit aufschreiben könnte, welche Primzahlen die 60 als Quadratischen Rest, und für die andren müsste ich dann ja auch noch eine Zerlegung finden ... verwirrt
.... Ich glaube ich geb mich so langsam auch geschlagen. Morgen ist eh Abgabe und ich denke nicht, dass ich heute noch eine Erläuchtung erhalte Engel Schläfer
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Falls 60 quadratischer Rest mod p ist, haben wir die von dir angegebene Zerlegung in zwei quadratische Faktoren. Falls 60 quadratischer Nichtrest mod p ist kann a) f(x) eine Nullstelle haben oder b) f(x) in 2 quadratische Faktoren zerfallen oder c) f(x) irreduzibel sein.

Ich sehe auch noch nicht klar, habe aber noch nicht das quadratische Reziprozitätsgesetz ausgenutzt, um weitere Bedingungen zu finden. Bisher ist mir nur klar, dass gilt

und
Weil das alles leider nicht hilft, um 60 als quadratischen Rest mod p für alle p zu erweisen, bin ich momentan auch etwas ratlos ... ich warte auf neue Ideen, weiß aber nicht, wie lange die auf sich warten lassen verwirrt

Mein Rat: gib das ab, was Du bisher weißt, dann wird zumindest die Bemühung anerkannt und die Teillösung ist sicher besser als nichts.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reduzibilität von f(x)=x^4 - 16x^2 + 4 über alle Körper Z_p
@steph88
Für den Aufgabenteil
ist über jedem Körper reduzibel”
bin ich gespannt auf eine Lösung. Wenn diese Aussage wahr sein sollte, dann kann man sie für p > 5 umwandeln in
„Entweder es gilt oder f(x) lässt sich in zwei Polynome 1. und 3. Grades zerlegen.”
wenn ich das richtig sehe. Benutzt habe ich dabei den Satz
„Die quadratische Gleichung hat modulo p keine Lösung, wenn .”
Man kann dann auch Bedingungen an die Koeffizienten des Polynomes 3. Grades formulieren. Ob das hilft, weiß ich nicht.
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