Geometrische Interpretation einer linearen Abbildung

15.06.2016, 19:30	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrische Interpretation einer linearen Abbildung Hallo zusammen, ich habe eine Frage zu einer Aufgabe. Gegeben ist die Matrix A. $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Interpretieren Sie die lineare Abbildung, die durch die Matrix A beschrieben wird, geometrisch. Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} A^{4} \end{eqnarray}$ unter Ausnutzung dieser Interpretation (ohne Rechnung). Meine Ideen: Wenn man die Matrix mit einem Vektor multipliziert, wird die erste und die zweite Komponente getauscht, wobei bei der ersten das Vorzeichen gedreht wird. Mit der dritten Komponente passiert nichts. Wenn man im $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{2} \end{eqnarray}$ die beiden Komponenten eines Vektors tauscht und bei einer das Vorzeichen dreht, erhält man einen neuen Vektor, der orthogonal zum alten steht. Im $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray}$ ergibt das ganze aber keinen Sinn für mich. Danke im Voraus!
15.06.2016, 20:47	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du unbedingt Orthgonalität mit einbeziehen möchtest, dann beziehe das Ganze doch auf die orthogonale Projektion in die xy-Ebene. Ansonsten könnte man auch noch zerlegen in $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , um gewisse Spiegelungen oder Drehungen zu erkennen. Das könnte bei der Interpretation von $\begin{eqnarray} A^4 \end{eqnarray}$ nützlich sein.
15.06.2016, 20:57	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! War das die QR-Zerlegung?

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