Symplektische Gruppe bestimmen

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komplexkonjugiert Auf diesen Beitrag antworten »
Symplektische Gruppe bestimmen
Meine Frage:
Hey,

wir betrachten den reellen Vektorraum [latex]\mathbb R ^{2}[/latex] mit der antisymmetrischen Bilinearform

[latex] \beta : \mathbb R ^{2} \times \mathbb R ^{2} \to \mathbb R, \beta(x,y) =x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}[/latex].

Bestimmen Sie die symplektische Gruppe [latex] Sp(2,\mathbb R) = U(\mathbb R ^{2},\beta) [/latex].

Meine Ideen:
Nach der Definition der symplektischen Gruppe suche ich jetzt ja die [latex]\beta[/latex]-unitären Automorphismen.

Also suche ich die linearen, bijektiven Abbildungen [latex] \phi : \mathbb R ^{2} \to \mathbb R ^{2} [/latex], sodass

[latex]\beta(\phi(v),\phi(v')) = \beta(v,v')[/latex] für alle v,v' in [latex]\mathbb R ^{2}[/latex]

Stimmt das?

Und wenn ja, wie findet man solche Abbildungen?

Danke für eure Tipps smile
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Suche alle Lösungen von
[l] \begin{pmatrix}0&1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&c \\ b&d \end{pmatrix}[/l].
 
 
komplexkonjugiert Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für deine Antwort.

Leider verstehe ich nicht so ganz, warum ich die Lösungen dieser Gleichung suchen soll.

Bilinearformen in Matrix-Form kenne ich auch (noch) gar nicht. Ich habe die verlinkten Beiträge gelesen, aber den direkten Bezug verstehe ich leider noch nicht.

Ich kenne nur die von mir angegebenen Definitionen von symplektischer Gruppe etc. Ich denke damit sollte ich irgendwie arbeiten. Könntest du mir da mit ein paar erklärenden Worten auf die Sprünge helfen?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann setze für eine Isometrie [l]\phi[/l] eben die beschreibende Matrix [l]\begin{pmatrix}a&b \\ c&d \end{pmatrix}[/l] an.
Dann bekommst du aus [l]\beta(x,y)=\beta(\phi(x),\phi(y))[/l] Bedingungen an die Einträge der Matrix, das ist die selbe Idee wie vorhin. Lasse [l]x[/l] und [l]y[/l] jeweils eine Basis von [l]\mathbb{R}^2[/l] durchlaufen.
komplexkonjugiert Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du das dann so?

[latex]\beta \left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = 1-0 = 1 = \beta \left(\phi \begin{pmatrix} 1 \\ 0  \end{pmatrix} , \phi \begin{pmatrix} 0 \\ 1  \end{pmatrix} \right) [/latex]

und halt auch für die anderen 3 Kombinationen aus Basisvektoren.

Aber wie bekomme ich dann klare Bedingungen an die Abbildung? Soll ich das dann in eine Art Gleichungssystem fassen und das dann lösen? Oder hab ich dich falsch verstanden?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

So:
[latex] 1 = \beta \left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = \beta \left(\phi \begin{pmatrix} 1 \\ 0  \end{pmatrix} , \phi \begin{pmatrix} 0 \\ 1  \end{pmatrix} \right) =  \beta \left( \begin{pmatrix}a&b \\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0  \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}a&b \\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1  \end{pmatrix} \right) = \beta \left( \begin{pmatrix} a\\c \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} \right) = ad-bc[/latex]
komplexkonjugiert Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, jetzt weiß ich, was du meintest, danke!

Damit hab ich also als Bedingungen ad-bc =1 und bc-ad=1. Mehr kann ich nicht drüber aussagen, oder?
Wie sieht damit die symplektische Gruppe aus? Die Menge aller linearen, bijektiven Abbildungen [latex]\phi[/latex], für deren darstellende Matrix obige Bedingungen gelten?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von komplexkonjugiert
Damit hab ich also als Bedingungen ad-bc =1 und bc-ad=1.

Die zweite Bedingung ist falsch (Vorzeichenfehler).

Zitat:
Wie sieht damit die symplektische Gruppe aus? Die Menge aller linearen, bijektiven Abbildungen [latex]\phi[/latex], für deren darstellende Matrix obige Bedingungen gelten?

Jede Isometrie erfüllt die Eigenschaft, die du ausgerechnet hast. Also hast du eine Obermenge der symplektischen Gruppe bestimmt. Umgekehrt wäre die Frage zu beantworten, ob die Bedingung auch hinreichend dafür ist, eine Isometrie zu sein. Das wäre dann noch nachzurechnen.
komplexkonjugiert Auf diesen Beitrag antworten »

Jo stimmt, da hab ich ein Minus vergessen.

Also hab ich nur die eine Bedingung ad-bc=1.

Was du meinst, ist doch, dass ich jetzt zwar eine Abbildung gefunden habe, die die Voraussetzungen für eine symplektische Gruppe erfüllt, aber noch zeigen muss, dass diese Abbildung zwangsläufig auch ein Automorphismus ist, oder?

Meine einzige Bedingung ist ja ad-bc=1 für die Einträge der darstellenden Matrix.

Für bijektive Abbildungen muss ja die darstellende Matrix invertierbar sein. Da bei uns ja det(M)=ad-bc=1 gilt, also det(M) ungleich Null, ist sie invertierbar, also bijektiv.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Invertierbarkeit ist wegen der Determinantenbedingung klar. Du hast gezeigt [l]\mathrm{Sp}(2,\mathbb{R})\subseteq \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})[/l] - was ist mit der Umkehrung?
komplexkonjugiert Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube jetzt verstehe ich was du meinst. Ich muss jetzt also quasi die Gegenrichtung machen, also von der Bedingung ad-bc=1 darauf schließen, dass [l]\beta(x,y)=\beta(\phi(x),\phi(y))[/l] gelten muss, oder?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
komplexkonjugiert Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt ich rechne mit den Basisvektoren des R^2 einfach nach, dass [l]\beta(x,y)=\beta(\phi(x),\phi(y))[/l] gelten muss und habe dann als Ergebnis, dass die symplektische Gruppe die Menge aller [latex]\phi \in Aut_\mathbb R (\mathbb R^{2})[/latex], für die gilt, dass die Determinante der beschreibenden Matrix gleich 1 ist, ist (mit einer Verknüpfung). Stimmt das?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von komplexkonjugiert
Das heißt ich rechne mit den Basisvektoren des R^2 einfach nach, dass [l]\beta(x,y)=\beta(\phi(x),\phi(y))[/l] gelten muss


Das ist sehr undeutlich ausgedrückt. Mag sein, dass du das richtige meinst - oder auch nicht.
Mit einer solchen Aufgabe wird man aber nicht konfrontiert, wenn man nicht schon mal zuvor die Gleichheit zweier Mengen gezeigt hat, ich verstehe also nicht woran genau du hier scheiterst.
Daher und da das hier inzwischen einfach viel zu lange dauert, als abschließende Bemerkung:

Rechne nach, dass wenn [l]\det\begin{pmatrix}a&b \\ c&d \end{pmatrix}=1[/l] ist,
[l]\beta\left( \begin{pmatrix}a&b \\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}a&b \\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \right) = \beta\left( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \right) [/l] für alle [l]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2[/l] gilt.
Damit ist dann gezeigt, dass [l]\mathrm{SL}_2(\mathbb{R}) \subseteq \mathrm{Sp}_2(\mathbb{R})[/l].
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