4x5 Matrix mit Gaußverfahren

18.06.2016, 17:20

inx1234

4x5 Matrix mit Gaußverfahren

Hallo,

ich soll mittels Gaußverfahren folgende Matrix lösen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & -1 & -1 | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & -1| & 1 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & -1| & 1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 & -1 | & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da es kein quadratisches Matrix ist, bin ich überfragt wie ich den hier die Stufenform machen soll. Darf ich es einfach so machen oder muss ich hier noch vor der Anwendung der Gaußverfahren etwas tun?

Online findet man darüber leider nichts :/

18.06.2016, 17:41

Elvis

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Dem Gauß(-Algorithmus) ist es egal, ob eine Matrix quadratisch ist oder nicht. Wenn es Dir nicht egal ist, kannst du ja noch die Gleichung $\begin{eqnarray*} 0x_1+0x_2+0x_3+0x_4+0x_5=0 \end{eqnarray*}$ hinzufügen. Diese ist immer richtig und ändert an dem vorhandenen linearen Gleichungssystem nichts.

19.06.2016, 14:58

inx1234

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Hallo

danke für die Rasche Rückmeldung. Ist es dann so richtig mit der Stufenform?

1
0 1
-1 2 -1
1 -1 -1 -1

19.06.2016, 17:54

Elvis

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Nein, das ist völlig falsch. Eine Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} * & * & ... & * & * \\ * & * & ... & * & * \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ * & * & ... & * & * \\ * & * & ... & * & * \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wird durch den Gauß-Algorithmus auf die Stufenform $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & * & * \\ 0 & 1 & ... & * & * \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ... & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gebracht , so dass links oben eine quadratische Einheitsmatrix und darunter eine rechteckige Nullmatrix steht, rechts oben steht irgendetwas.

30.06.2016, 18:15

inx1234

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Hallo,

dieses mal geht es um eine 4x3 Matrix. Bin mir aber unsicher, ob ich es so richtig gemacht habe.

Vorgegebene Matrix:
0 -1 -2 | 1
-1 1 -2 | 4
-2 3 -2 | 7
1 -2 0 | -3

Ergebnis:

1 -2 0 | -3
-1 1 -2 | 4
0 1 2 | -1
0 0 0 | 0

30.06.2016, 18:46

Elvis

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Ich bin auf einen Blick sicher, dass das falsch ist, denn oben links steht keine Einheitsmatrix.

30.06.2016, 18:56

inx1234

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Dann dies hier?

1 -2 3 | 3
0 -1 -2 | 1
0 0 4 | 4
0 0 0 | 0

30.06.2016, 19:40

Elvis

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Das ist einzige Einheitsmatrix vom Rang 3 : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Nicht mehr und nicht weniger braucht der Gauß-Algorithmus , um dieses LGS zu lösen.

Anmerkung: stimmt gar nicht, du hast dich auch noch verrechnet. der Rang ist 2. unglücklich

30.06.2016, 20:11

inx1234

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Ich habs jetzt nochmal verbessert hoffe dass stimmt so? Wäre echt super, wenn ihr mir da weiterhelfen könntet. Schreibe morgen die Klausur und irgendwie konnte ich das "Gaußproblem" nicht lösen unglücklich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 | & 1 \\ -1 & 1 & -2| & 4 \\ -2 & 3 & -2 | & 7 \\ -2 & 3 & -2 | & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Vertausche I mit IV

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 | & -3 \\ -1 & 1 & -2| & 4 \\ -2 & 3 & -2 | & 7 \\ 0 & -1 & -2 | & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
II + I

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 | & -3 \\ 0 & -1 & -2| & 1 \\ -2 & 3 & -2 | & 7 \\ 0 & -1 & -2 | & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
III + 2*I

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 | & -3 \\ 0 & -1 & -2| & 1 \\ 0 & -1 & -2 | & 1 \\ 0 & -1 & -2 | & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da Zeile 2,3 und 4 gleich sind. Setze ich die Zeilen 3 und 4 auf 0

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 | & -3 \\ 0 & 1 & -2| & 1 \\ 0 & 0 & 0 | & 0 \\ 0 & 0 & 0 | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

30.06.2016, 20:17

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 | & 1 \\ -1 & 1 & -2| & 4 \\ -2 & 3 & -2 | & 7 \\ -2 & 3 & -2 | & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Woher du die letzte Zeile gezaubert hast, verstehe ich nicht.
Wenn das ein Abschreibfehler war und es ab der zweiten Matrix richtig abgeschrieben ist, dann stimmt der Rest.

Edit: Doch noch ein Vorzeichenfehler in der letzten Matrix

30.06.2016, 20:29

inx1234

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Okay erste Matrix war ein Abschreibefehler und sollte so richtig sein:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 | & -3 \\ -1 & 1 & -2| & 4 \\ -2 & 3 & -2 | & 7 \\ 0 & -1 & -2 | & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und die letzte zeile hatte wirklich ein Vorzeichenfehler unglücklich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 | & -3 \\ 0 & -1 & -2| & 1 \\ 0 & 0 & 0 | & 0 \\ 0 & 0 & 0 | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So sollte es dann richtig sein nehme ich mal an.

30.06.2016, 20:31

Bjoern1982

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Ja.

01.07.2016, 09:10

Elvis

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Soweit ist das richtig. Wozu soll das jetzt gut sein ? Wenn du das lineare Gleichungssystem (LGS) lösen möchtest, musst du weitermachen.
a) 2. Zeile mit -1 multiplizieren
b) 2. Zeile 2 mal zur 1. Zeile addieren
c) x3,x2,x1 ablesen
d) Lösungsraum aufschreiben

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